2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数

2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数

四川大学2011年硕士研究生考试——高等代数 一、

1、设V 是数域上的维空间，F n (1)i V i s α∈≤≤，1i i i i s W k k α≤≤??=∈????∑F ，证明：W 是的子空间；

V 2、设是数域上的2阶方阵组成的线性空间，V 是由如下四个矩阵生成的的子空间：，，()2M F 1A F 1420()2M F ???=????25103A ??=????3A 3214???=?????

， 42945A ???=?????（1）求和V 的一个基；

()dim V （2）映射为：:f V →F ()()f A tr A =（其中()tr A 是矩阵的迹）， A {}ker ()0f A V f A =∈=，求()dim ker f 并写出ker f 的一个基。

二、设数域满足

,F S ?F S 1、设是上n 维列向量，则()1i i s α≤≤F ()1i i s α≤≤在上线性相关的充要条件是 F (1i i s α≤≤)在S 上线性相关；

2、设，则在上相似的充要条件是在相似；

,n n A B ×∈F ,A B F ,A B S 3、设()f x 为上的n 次多项式，F ()f x 在S 上有n 个根()1i x i n ≤≤，则 ()21i j i j n x x ≤<≤?∈∏F ；

4、证明：S 关于数的加法、乘法是在数域上的线性空间。

F

三、设为任意可逆矩阵，列举至少四种求A 1A ?的方法。

四、设()121p p f x x x x ??=++++L ，其中p 为素数

1、证明：()f x 在数域上不可约；

2、令(){}()0n M A M f A =∈= ，其中()n M 是复数域上的阶方阵组成的集合，如下将n M 中元素分类：若存在中可逆矩阵使()n M D 1A DBD ?=，则同类，问：,A B M 中

2011年四川大学硕士研究生考试-高等代数

矩阵可以分成几类？

五、设V 是数域上的n 维线性空间，F ()End V 是上的全体线性变换组成的线性空间

V 1、求()dim End V 及()End V 的一个基；

2、设()A End V ∈且的特征多项式为A ()f x

（1）证明：如果V 可分解为非平凡的-不变子空间的直和，则A ()f x 在可约；

F （2）上述命题的逆命题成立与否，说明理由。

六、设V 是维欧氏空间，内积为n (),

1、若是V 中一个线性无关组，证明：V 中存在两两正交的使 (1i i s α≤≤)()1i i s β≤≤对任意1，有与k s ≤≤()1i i k α≤≤()1i i k β≤≤等价；

2、设，证明：(1i V i t γ∈≤≤))(1i i t γ≤≤线性无关的充要条件是()(()()1111

,,,,t t t )t γγγγγγγ??????????L M L M

L γ是正定矩阵。

七、设()2,A B M ∈ （二阶实方阵），0AB BA +=且22

A B E ==（单位矩阵），证明： 存在可逆矩阵使()2T M ∈ 11001T AT ???=?????（可能是）且

。 11001TAT ???=????

?10110T BT ???=????

八、求矩阵X 使。 4300031000X ????=??????