高中数学第二章空间向量与立体几何2空间向量的运算(一)学案北师

1 2 空间向量的运算（一） 学习目标 1.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.2.了解向量加法的交换律和结合律

.

思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量

的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，

CA →＝OA →－OC →＝a －b

(2)空间向量的加法交换律

a ＋

b ＝________，

空间向量的加法结合律

(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).

2

类型一 向量式的化简

例1 如图，已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量

.

(1)AA ′→－CB →；

(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′——→.

引申探究

利用例1题图，化简AA ′→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A ——→.

反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点

的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.

(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋

EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0

.

(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a －b ＝a ＋(－b ).

跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→

.

3

类型二 用已知向量表示未知向量

例2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .用向量a ，b ，c 表示以下

向量

.

(1)AC 1→；(2)BD 1→.

反思与感悟 将一个向量表示成n 个向量的和或差，关键是根据向量的加减运算将向量进行拆分，一般可考虑从起点到终点构成封闭的回路进行运算.

跟踪训练2 在例2中，若已知A 1C 1与B 1D 1的交点为M .请用a ，b ，c 表示BM →.

1.下列命题中，假命题是( )

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.空间中任意两个单位向量必相等

2.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )