八年级数学竞赛辅导资料及答案二

八年级数学竞赛辅导资料及答案（二）

式的整除

甲内容提要

1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这

个整式被另一个整式整除。

2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，

那么 式的整除的意义可以表示为：

若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除

例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,

∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。

显然当 x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，

3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0

反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。

4． 在二次三项式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

乙例题

例1己知 x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3

解法一：列竖式做除法 （如右） x－2x2－5x+m

由 余式m－6＝0 得m=6 x2－2x

解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m

∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6

22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6

解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数) 那么 x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝ x2+(a-2)x－2a

根据左右两边同类项的系数相等，得

a 2 5 a 3 解得 （本题解法叫待定系数法） 2a m m 6

例2 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除

求：m、n 的值及商式

解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）

∴商式可设为x2+ax+b

得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）

＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b

根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得

a 2 5 a 3 b 1 2a 11 b n 解得

a 2b m m 11

1b n n 4

∴m=－11, n=4, 商式是x2－3x+4

例3 m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?

解：当 x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式

令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0

333 即［－（y+z）］+y+z－myz(y+z)=0

把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,

∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立

∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值 ，

当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。

例4 分解因式x3－x+6

分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，

只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）

解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）

丙练习18

1． 若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 则m=___, n=___

2． x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，

x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿

3． 己知x3+mx+4能被x+1整除，求m

4． 己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x –2,求a和b的值

5． 己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式

6． 己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.

7． 分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3

8.选择题

① x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（ ）

(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)

(c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)

②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（ ）

（A） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.

参考答案

1. –4，2 2. 2；4x+5 3. 3

4. a 5 m 19 5. 商式x-1 b 20 n 5

6. 12 7.①(x-1)(x-2)(x+3), ②(x-2)2(x+1) , ③(x+3)(x2-3x-1)

8. ① (A) ② (D)