【配套K12】课标通用2018年高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利(2)

易知n 1＝(0,1,0)是平面OB 1D 的一个法向量．

设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的法向量，

则????? n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即??? 2x ＋2z ＝0，2y ＋2z ＝0，

取z ＝－2，则x ＝2，y ＝2，则n 2＝(2,2，－2)．

设二面角C 1－OB 1－D 为θ，

则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝210

＝105， 故二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为

105. [题点发散2] 在题干条件下，试在线段C 1C 上求一点M ，使二面角 M －OB 1－D 的大小为60°.

解：在母题(2)建系条件下，O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．

易知n 1＝(0,1,0)是平面OB 1D 的一个法向量．

设M (0,1，m )，且n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1M 的一个法向量．

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 则????? n 2·OM →＝0，n 2·OB 1→＝0，即??? y ＋mz ＝0，3x ＋2z ＝0，

取z ＝－1，则x ＝233

，y ＝m ， 则n 2＝? ??

??233，m ，－1. 由cos 〈n 1，n 2〉＝12知，m

m 2＋73＝12， ∴m 2＝79(m >0)，即m ＝73

， ∴M ? ??

??0，1，73. 即在线段CC 1上存在一点M 且CM ＝

73，使二面角M －OB 1－D 的大小为60°. [点石成金] 1.利用向量计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

(2)

找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

2．利用法向量求二面角时的两个注意点

(1)对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求．

(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论错误.

如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC

＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 (1)求证：EF ⊥BC ；

(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．

(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．

易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，

C (0,2,0)．

因而E ? ????0，12，32，F ? ??

??32，12，0. 所以EF →

＝? ????32，0，－32，BC →

＝(0,2,0)， 因此EF →·BC →

＝0.

从而EF →⊥BC →

，所以EF ⊥BC .

(2)解：平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)．

设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，

又BF →＝? ????32，12，0，BE →＝? ??

??0，12，32， 由????? n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．

设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，

则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝??????n 1·n 2|n 1||n 2|＝15

，

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 因此sin θ＝

25＝255， 即二面角E －BF －C 的正弦值为

255

.

[方法技巧] 1.用向量来求空间角，只需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应线段的向量．

2．合理建立空间直角坐标系

(1)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．

(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．

[易错防范

] 1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．

2

．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，

点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54

，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′

EF 的位置，OD ′＝10.

(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；

(2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值．

(1)证明：由已知，得AC ⊥BD ，AD ＝CD .

又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CF CD

，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 由AB ＝5，AC ＝6，得

DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.

由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14

. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.

于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2

，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，

所以D ′H ⊥平面ABCD .

(2)解：如图，以H 为坐标原点，HF →

的方向为x 轴正方向，HD →的方向为y 轴正方向，HD →′的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系H －xyz

.

则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，

C (3，－1,0)，

D ′(0,0,3)，AB →

＝(3，－4,0)， AC →＝(6,0,0)，AD ′→

＝(3,1,3)．

设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，

则?????

m ·AB →＝0，m ·AD ′→＝0，即????? 3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0， 所以可取m ＝(4,3，－5)．

设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，

则????? n ·AC →＝0，n ·AD ′→＝0，即????? 6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 所以可取n ＝(0，－3,1)．

于是cos 〈m ，n 〉＝

m ·n |m||n| ＝－1450×10

＝－7525， sin 〈m ，n 〉＝29525

. 因此二面角B －D ′A －C 的正弦值是29525

. 2．[2016·山东卷]在如图所示的圆台中，AC

是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．

(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ；

(2)已知EF ＝FB ＝12

AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值． (1)

证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，

在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，

所以GI ∥EF .

又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .

在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，

所以HI ∥BC .

又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ，

所以平面GHI ∥平面ABC .

因为GH ?平面GHI ，

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 所以GH ∥平面ABC .

(2)解：解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，

所以BO ⊥AC .

以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz

.

由题意，得B (0,23，0)，C (－23，0,0)，

所以BC →

＝(－23，－23，0)．

过点F 作FM 垂直OB 于点M ，

所 …… 此处隐藏：3241字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……