【配套K12】课标通用2018年高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 §8.7 利用空间向量求空间角

考纲展示?

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

考点1 异面直线所成的角

两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

空间角的范围处理错误．

已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12

，则l 与α所成的角为________．

答案：30°

解析：设l 与α所成的角为θ，

则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12

，∴θ＝30°.

[典题1] (1)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )

A.110

B.25

C.3010

D.22

[答案] C

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，

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K12小学初中高中

设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，

N (1,0,2)，所以BM →

＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，

故BM 与AN 所成角θ的余弦值

cos θ＝|BM →·AN →

||BM →||AN →|＝36×5＝3010

. (2)如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1

∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．

[答案] 45

[解析] ∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，

∴AE ⊥

ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，

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K12小学初中高中 ∴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB ＝EF ＝CD ＝2，

则E (0,0,0)，A (1,0,0)，

F (0,2,0)，C (0,2,1)，

∴AF →＝(－1,2,0)，EC →

＝(0,2,1)， ∴cos 〈AF →，EC →

〉＝AF →

·EC

→|AF →||EC →|

＝4

5×5＝45， ∴AF 与CE 所成角的余弦值为45

. [点石成金] 1.利用向量法求异面直线所成角的步骤

2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．

考点2 直线与平面所成角

直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角

为φ，向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e |

.

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(1)[教材习题改编]若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于________．

答案：30°

解析：根据线面角的定义易知为30°.

(2)[教材习题改编]如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是________．

答案：30°

解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32

，因此a 与b 的夹角为30°，即斜线与平面的夹角也为30°.

(3)[教材习题改编]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中

点，则sin 〈CM →，D 1N →

〉的值为

________．

答案：459

解析：设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →

，DC →，DD 1→所在方向分别为x 轴、y 轴、

z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，所以cos 〈CM →，

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K12小学初中高中 D 1N →〉＝－19，所以sin 〈CM →，D 1N →〉＝

459

.

[典题2] [2017·河南郑州二模]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，∠A

1AC ＝60°，∠BCA ＝90°.

(1)求证：A 1B ⊥AC 1；

(2)已知点E 是AB 的中点，BC ＝AC ，求直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．

(1)[证明] AC 的中点O

，连接A 1O ，

因为四边形AA 1C 1C 是菱形，且∠A 1AC ＝60°，

所以△A 1AC 为等边三角形，所以A 1O ⊥AC .

又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，

所以A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .

又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，

所以AC 1⊥BC .

在菱形AA 1C 1C 中，AC 1⊥A 1C ，

所以AC 1⊥平面A 1BC ，

所以A 1B ⊥AC 1.

(2)[解] 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，

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则A (0，－1,0)，B (2,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,2，3)，

AB →＝(2,2,0)，BB 1→＝CC 1→

＝(0,1，3)．

设m ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1A 1的法向量，

则?????

m ·AB →＝0，m ·BB 1→＝0，即??? 2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0， 取z ＝－1，可得m ＝(－3，3，－1)． 又E (1,0,0)，所以EC 1→

＝(－1,2，3)， 设直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈EC 1→，m 〉|＝

|EC 1→

·m ||EC 1→||m |＝4214

. [点石成金] 利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．

(2)

通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

[2017·辽宁协作体联考]在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值．

解：设正方体的边长为DD 1＝1，

分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，

D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，

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K12小学初中高中 则BB 1→

＝(0,0,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，

AC →＝(－1,1,0)．

设n ＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，

则有????? n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即????? －x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，

取x ＝1，得n ＝(1,1,1)．

设直线BB 1与平面ACD 1所成的角为α，

则有sin α＝|cos 〈n ，BB 1→

〉|＝

13＝33， 故cos α＝1－? ????332＝63. 即BB 1

与平面ACD

1所成角的余弦值为

63

. 考点3 二面角

求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝________.

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K12小学初中高中

答案：〈AB →，CD →

〉 (2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．

二面角的求法：可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角〈n 1，n 2〉，则所求二面角为〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．

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