高中数学知识点全解(最全版)教师必备(2)

①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

h 0,左移h个单位k 0,上移k个单位

y f(x) y f(x h)y f(x) y f(x) k

h 0,右移|h|个单位k 0,下移|k|个单位

②伸缩变换

0 1,伸

y f(x) y f( x) 1,缩0 A 1,缩y f(x) y Af(x) A 1,伸

③对称变换

y轴x轴y f(x) y f(x) y f(x) y f( x)

直线y x原点y f(x) y f( x) y f(x) y f 1(x) 去掉y轴左边图象

y f(x) y f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象

y f(x) y |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得

问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xn a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根n是偶数时，正数a的正的nn次方根用符号0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a 0．

a (a 0)

③根式的性质： a；当n a；当n为偶数时， |a| ．

a (a 0)

n

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a a 0,m,n N ,且n 1)．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：a

m

nmn

1m ()n a 0,m,n N ,且n 1)．0的负分数指数幂a没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①a a a

rr

s

r s

(a 0,r,s R) ②(ar)s ars(a 0,r,s R)

③(ab) ab(a 0,b 0,r R)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4rr

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若a N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：x logaN ax N(a 0,a 1,N 0)． （2）几个重要的对数恒等式

x

loga1 0，logaa 1，logaab b．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828 ）． （4）对数的运算性质 如果a 0,a 1,M 0,N 0，那么

①加法：logaM logaN loga(MN) ②减法：logaM logaN loga③数乘：nlogaM logaMn(n R) ④a

n

⑤logabM

logaN

M N

N

nlogbNlogaM(b 0,n R) ⑥换底公式：logaN (b 0,且b 1) blogba

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x (y)．如果对于y在通过式子x (y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x (y)表示x是yC中的任何一个值，

的函数，函数x (y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f③将x f

1

1

1

(y)，习惯上改写成y f 1(x)．

(y)；

(y)改写成y f 1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数y f(x)与反函数y f

1

(x)的图象关于直线y x对称．

1

②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f(x)的值域、定义域．

③若P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上． ④一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量， 是常数．

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图

象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果 0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, )上为增函数．如果 0，则幂函数的图象在

(0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当

qp

q

（其中p,q互质，pp

qp

和q Z），若p为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数y x,x (0, )，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图

qp

象在直线y x上方，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x) ax2 bx c(a 0)②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式：

f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

①二次函数f(x) ax bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x

2

b

,顶点坐标是2a

b4ac b2( ,)． 2a4a

②当a 0时，抛物线开口向上，函数在( ,

bbb

]上递减，在[ , )上递增，当x 时，

2a2a2a

4ac b2bbb

]上递增，, )上递减，fmin(x) ；当a 0时，抛物线开口向下，函数在( , 在[ 当x

2a2a2a4a4ac b2

时，fmax(x) ．

4a

22

③二次函数f(x) ax bx c(a 0)当 b 4ac 0时，图象与x

轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|

． |a|

（4）一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2．令f(x) ax2 bx c，从以下四个

方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x ①k＜x1≤x2 …… 此处隐藏：2824字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……