利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程(2)

B= n s1芈；= eo (,; o e (, b C z r s1N) N)f ri: o=lN

C(,=; 1) i ie d n

N 9%待求未知节点数为 Nx=; N Z zrs N;%生成 ( 1xN—)= eo( ) N, N一) ( 1阶零矩阵 I一y (/;=e eN) 4p o e( 1;= n sN,)

B=B+C:

例如输入：>= tx (、>B ma iB 9 r

%生成( 1xN一) N.)( 1阶单位矩阵

结果为：B=[+l b 2 b,+,+,+,+,+,+9 b,+,+3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b】

G= sda s[/,一/]一，,, N)%生成 N N p ig ( p4P p4, 1 1 N,;一，[ 0] x

阶稀疏矩阵 GK= .

将上述结果复制到 Wo文档，并将其相应替换 d r形成B= bl b; 3 b; 5 b; 7 b; 9;[;2 b;4 b;6 b;8 b]

%调用子程序 mar K N)将其运行结果复制到 tx (, i

Wod中替换、调整后粘贴到此处； r;】;

再复制粘贴回 MA L B的 M文档中即可。 TA

考虑对于不同Ⅳ值的计算情况，MA L T AB程序

vl o e ( 2N+ )= n sN+, 2;f ri:+2 o _1N

v (,= n s 1 2 O l 1: o e (, ) 5; ) N+

中b N的计算表达式可调用下述程序生成：fn t nb b x rsinN) u c o N= Ne pes ( i o ds(bn m2￣N)= n sN,;) i[ u s (’ e( 1 p~ o )】 ds(b i[ p~ n m2￣ N) u s(

v ( 2: o e(, 2*

0;%边界条件 l N+,= n s1 ) N+ ) 10 v ( 1=; v (N+ ) 10%边界条件 l, O i ) li 2= 0;,ed n21 5

利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程

第3卷第4 2期 21 0 0年 4月

红外技术I fa e e h oo y nrrdT c n lg

、 .2 No 4 b1 3 . Ap . 2 1 r 00

h:=l

q y 0 f= h 2 q y x=; q一 x;

v (k= h(;%将计算结果连同边界条件 l,)p i) j i分解拼成 (+ ) N 1阶矩阵 N 1×(+ )ii: -+1 ed n e nd

b= n s 1; l o e( ) N,f ri N— o=2: l

b () l f+ l1 )v (, ) l1/ ( v (,+ 1 1;= 4 q 2 2 )

b (=/ f+ l1 1+ l2 2) lN) 1 ( v (, ) v (, ); 4 q N+ N+ b (=/ f+ l1i1) 1i 1 ( v (, ) ) 4 q+;ed n

作为比较，考虑文献[】 6中给出的一个算例：一十一+’=。 I I

%调用子程序 b x rsinN) Ne pes (,将其运行结果复制 o粘贴到此处； %调用子程序 be pes nN.)将其运行结果复制 ix rsi ( 1, o粘贴到此处；边界条件为：

a0 v

0 .

X=0 =1 0 Y=0 Y=1 0

%调用子程序 maiBN) tx (,将其运行结果复制到 rWod中替换、调整后粘贴到此处； r p iK B; h= ki;=l

Ox Y=f x y= (,) (, )

1 o. 0 5, 0 1 0 0,

%矩阵左除出各未知节点的近似值求

取 N=9即划分为 1×1=1 0个网格，共有， 0 0 0 1×1=1 1 1 1 2个节点，其中待求节点 9=8个，边 X9 1

界节点 1 1 8=4 2 - 1 0个。执行下述程序得到的结果如表 1所示，其中表格四周为边界条件值；些结果与这文献[] 6中用超松弛迭代法计算得到的结果相同。T be1 C lua drsl fu cinl au r o e sl in ein al aclt uto fnt a v e o d sna ou o go e e s o l f n i t r5 0 4 .1 85 9 4 .0 79 6 4 .8 84 9 5 .5 03 2 5 .9 35

6 5 .5 84 16 28 5. 3 7 5 4.01

fr=: I o j2 N+o f rk=2: N+1

表 1求解区域内各节点函数值的计算结果O 0 0 0 0 0 O0 0

5 0 2 .6 66 l 1 .7 84 5 l .2 56 2 1 .8 50 9 1 .7 59 4 1 .5 82 62 66 2. 3 3135 . 6

5 0 3 .7 8 1 316 9 .1 2 .2 89 4 2 .5 87 9 3 .5 05 3 .8 43 7410 .39 52.06 2

5 0 4 .9 43 8 4 .0 09 5 3 .9 96 8 4 .7 04 2 4 .8 3O l 4 .0 77 45 89 4. 9 65571 .

5 0 51 7 . 7 5 . 371 5 .0 60 1 5 .5 88 6 . 25 6 -2 7273. 28 8 8 0.7

5 0 5 .5 48 3 5 .6 913 6 .5 29 3 6 .4 65 9 7 .3 03 4 7 .4 46 87 7 9.47 8 7 5.58

5 0 5 .7 84 9 6 .3 51 4 7 .0 01 1 7 .6 40 7 .3 76 9 8 .9 12 285. 2 30 8 8 9.

5 0 6 .3 39 7 .9 27 4 7 .5 82 6 8 .4 19 9 8 .7 48 8 .7 75 89 3 0.71 9 38l 3_

5 0 7 .4 44 6 8 .5 38 5 8 .8 81 1 9 .l 06 1 9 .1 23 5 9 .7 37 895.21 2 96. 5 73

10 0 10 0 10 0 10 0 1O 0 l0 0 10 01 00 1o o

0 0

5 .5 05 4 1o o

7 .5 08 9 10 0

8 .7 06 8 10 0

8 2 6-8 10 0

8 .4 99 1 10 0

9 .1 26 4 10 0

9 .5 47 9 10 O

9 .2 66 10 0

9 .3 83 9 1o 0

l0 0 10 0

4结束语在二维程序中，所用网格数一般为 3×3 2 2到 26 5×2 6 5 r。当节点数大于 6 5 6时， T A的 A ry 53 MA L B r a

念直观、结构简单，涉及的编程技巧很少。相应的代

价是程序很长，例如当有 656网格点时， T AB 53个 MA L程序有五百多行，粘贴到 Wod中显示有近九

十页之 r多。但是其中绝大多数是由软件辅助自动生成的矩阵

E i r己无法显示，这时可用类似于 tv (3这样的 dt o= l: ),命令分别显示各行或列的计算结果。若在上述程序中

定义，对于使用者来说只是几次复制、粘贴之类的操作，工作量增加不多，总体上可使二维泊松方程的数

插入相应的计时函数命令，如 c c l k或 cui o pt me等， 可以发现程序的运行时间主要耗费在矩阵准备上，而花在矩阵除法上的时问并不多。 本文介绍的方法充分利用了不同软件的特点，概21 6

值求解过程大为简化。

(下转第 20页) 3

利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程

第 3卷第 4期 221 O 0年 4月

红外技术I r rd c no o nfae Te h l gy

、 l 2 No 4,- 0 3 . Ap . 2 1 r 00

(上接第 26页 ) 1 参考文献：【】王忆锋，毛京湘.用 MAT A 1 L B和打靶法实现平面 P N结一维泊松方程的简捷计算 f .外，0 03 ()4 .6 J红 1 2 1,02:44 . []王忆锋，唐利斌 .用转移矩阵和 MA L 2利 T AB直接求解一维薛定谔方程的一种简捷方法【 .外技术，0 03 ()1710 j红] 2 1,23:7 .8 .【】马文淦.计算物理学[ .北京：学出版社， 0 5 3 M】科 2 0.

[] E B Marb S Azr B. aahnrn M A L B原理与工程应用 5 . . ga, . am, B l ada. T A c[ .北京：电子工业出版社，0 2 M] 20 . [】何红雨 .电磁场数值计算法与 MA AB实现[ .汉：中科技大 6 TL M】武华学出版社， 0 4 20.

【】邵福球 .离子体粒子模拟[1. 7等 I]北京：科学出版社，02 V 2 0.

【】任玉杰 .值分析及其 MA L B实现【 .北京：高等教育出版社， 4数 T A M】2 7 f}

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