利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程

利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程

第 3卷第4 2期 21 0 0年 4月

红外技术I fa e e h o o y n rdT c n l g r

Vb13 N O. .2 4

Ap . 2 1 r 00

<材料与器件>

利用有限差分和 MA L B矩阵运算直接求解二维泊松方程 T A王忆锋，唐利斌(昆明物理研究所，云南昆明 6 0 2 ) 5 2 3

摘要：根据有限差分法原理，将求解范围用等间距网格划分为一系列离散节点后，二维泊松方程可转化为用一个矩阵方程表示的关于各未知节点的多元线性方程组。利用 MA L B提供的矩阵左除命 TA

令，即可得到各未知节点的函数近似值。该方法概念简单，使用方便，不需要花费较多精力编程即可以求解大型线性方程组。 关键词：半导体；泊松方程；有限差分法；MA L T AB中图分类号：T 0 N3 1文献标识码：A文章编号： 10—8 12 1)40 1—4 0 18 9 (0 00—2 30

Di e tSo uto fTwo di e i na is n Eq to r c l ino - m nso l Po s o ua i n

wih Fi ieDi e e c n ATLAB a rx Co p t to t n t f r n ea d M M t i m u a i nW AN G—e g, TAN G— n Yif n Libi

( u mi stt o P yi, u mig6 0 2, hn ) K n n I tue f hs sK n n 5 2 3 C ia gn i cAbs r c:Ba e n fn t if r n ep n i l s a e o ut e i n i i i e n o a s reso ic ee n de ta t s d o ied fe e c r c p e, f rs l i r g o sd v d d i t e i fd s r t o s i i t onwih a v n y s a e n e v 1 h wo— i e i a is qu ton c n b o et d i t uliee e t t n e e l p c d i t r a.t e t d m nson lPo s on e ai a e c nv re n o m t—l m n

ln a q t s a o n o o swh c a e e p e s d i t x e uai n. e a p o mai n o i e r e uai b utu kn wn n de i h C b x r s e n a ma r q to Th

p r xi to f on n ie c n no n n a u to a e o t i e t a rX l f vii n c a h u k w od lf nci n c n b b a n d wih m ti e tdi so omm a n M ATLAB . ti i p e nd i I ssm l

i o c pt o e i n n o e ai n a d c n b e o s l e l ge ln a q to t o tmo e e ors i n c n e,c nv n e ti p r to n a e us d t o v a i e e uai nswih u r f t n r rp o r m mi g. rga n

Ke r: s mi on u t r Po s o qu ton, fn t i e e c t od, M ATLAB y wo ds e c d co, i s n e ai i ied f r n eme h

摹半导体器件模拟中的静电场问题可归结为在给定电荷分布和边界条件下求解泊松方程…。和薛定谔方程类似 L, 2作为半导体中常用的基本控制方程之一， JV一一Q( e / Or C )

和() 1

式()为电势 1称的泊松方程，式中 Q为电荷量，

C为真空介电常数，为相对介电常数，另外： o V=

泊松方程、尤其是二维以上的泊松方程一般没有解析解，需要根据所用算法编写程序做数值计算。差分法

导熹萼++“

c 2() 3

是常用数值解法之一。本文介绍了一种利用有限差分和 MA L B矩阵运算直接求解二维泊松方程的方法， TA 即将求解区问离散为网格化的节点，通过差分将泊松方程转化为以矩阵方程表示的代数方程组，调用一条矩阵左除命令，即可求出其近似数值解。

为拉普拉斯算子。二维泊松方程可以写为：+a。v

)

考虑如图 1示的边值问题。以 h为步长将求解所区域等间距划分为 NXN个正方形网格，计有 (Ⅳ+1 ) ×( 1个节点，其中待求未知节点( 1×(一 1Ⅳ+ )Ⅳ一 ) J ) V 个，己知边界节点 4 N个。

1二维泊松方程在正方形网格节点上的有限差分在低频时对于介电常数均匀的情况，利用

收稿日期：2 0 .02;修订日期：2 1 - .0 0 9 1—1

0 00 1 . 4 作者简介：王忆锋 (9 3),男，湖南零陵人，高级工程师，主要研究方向为器件仿真。 16一

21 3

利用有限差分和MATLAB矩阵运算直接求解二维泊松方程

第 3卷第 4期 2 21 00年 4月

红外技术I fa e c ol y nx r dTe hn og.√ . “

、o _2 No4,l 3 . Ap . 2 0 r 01

: ( 1… 1 )(1 1 ( f ) f 1 ( l 1 - ) f )+ …一。 _——……一 - _— 9 l 1 )

=

=

=

九十

九一-

九 -1九 0 1 /4十一

…

0 0

14/+

1+

-1 4… /

(j 0 t+

—

…

…

-

I

4(十+), l1Ⅳ I l(+Ⅳ I

G=++

( q一 1 - l

(D 4…一一

【

广…

)…

lIl

O 0

一

……

一

() 90 -1 4/ 0 1 -1 4/ -1 4/ 1

▲Y

O, l一 i 16一 -

( l一) M 1 l

矿矿矿妒一十一+一 一 一 妒1 O 1=

( 16……一 6—&— 6…一 (+ 1 1) -,一——— _…一Ⅳ 1),O I1 -, (I ) I),【 I1 r,)+

0

O 0

…

0

图 1有限差分的正方形网格节点 +

1 0 1 ————

0.

O O Z=:●

00

: + 4+●

.●

‘

+.

01

‘ .●

‘

(0 1)

.

F g 1 S u r rd n d so n t i e e c i . q a eg i o e f i df r n e i f e

一对函数，, )做泰勒级数展开，可以写出： )~

一一

0

一… 0一

0

… 0 O

式()的妫所有未知节点呜构成的( 1×I 7中Ⅳ一 ) 本身为由各行未知节点构成的(Ⅳ一1×1 )

阶矩阵， 阶矩阵：

一一 一 .

,

缟= , =

:●

:●

,

J

[:式 ( 1中两个矩阵标注做了调整】注 1) 另外，B为由构成的 ( 1×1阶矩阵，为 Ⅳ一 ) () 4

由相关节点函数值和边界值构成的(

1×1阶矩Ⅳ一 )阵：-

将式 () 4中的各式相加，略去 h 4以上的高阶项，可得：+。

h q 2+ g2l 2,,

+ gl 2,

:

￡h

() 5

::●

,

1=一

-

hq2 3,

+g I 1 3 ;

,

O y

4-

( 2 1)

h2 ., g2 2 qⅣ2+Ⅳ+,

于是式()以写为： 3可-

+ g1 Ⅳ+l,

Ⅵ+￣ l" ', 1 -j-

+Oj1￣卜， -

() 61=

一

q,+gf 2f l,一

^.

在如图 1示的正方形网格节点中，从第二行 (所 =2 )开始，对每一行中的各未知节点按式 ()出相 6写应的差分表达式，经整理后可得下列形式的矩阵方程：=B () 7

i

(< f ) 2<Ⅳ,

-

h q f gⅣⅣ+.

2一

,

Ⅳ+ gⅣ 1+ gⅣ 22+1+。

,

式中：为( 1×( 1阶矩阵，并有： Ⅳ一 )Ⅳ一 ) G I Z… Z Z

1=

-

hqⅣ 3,

+ gⅣ+, 23

i-

(3 1)

h q J gⅣ 1+ 2Ⅳ,Ⅳ+ .+. 2+ gN 2 .Ⅳ+,

N+ l

I G,…

K:

:●

:●

( 2大型矩阵的多软件辅助生成 8 )Z I G I 一 i

Z

…

维泊松方程边值问题的有限差分解法，是利用

Z…

Z I G

式中：G、,、z均为(Ⅳ一1×( 1阶矩阵，其定义 )Ⅳ一 )分别为：

网格状模型上离散节点的数值解来逼近原函数的真实解。在计算机软硬件环境允许的情况下 …… 此处隐藏：3510字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……