函数的连续性与间断点

第一章1课 题

函数与极限

第八节 函数的连续性与间断点

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时间与空间都是连续的，在实际生活中， 时间与空间都是连续的，在实际生活中，有大量连续变化 的现象.如人体身高的增长，温度的变化， 的现象.如人体身高的增长，温度的变化，河水的流动等.

淄博市某日分时最高气温图

2导 入 例

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3例 生 长

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(2)邮资随邮件重量的增加而增加； )邮资随邮件重量的增加而增加； y分320 4例 邮 资

240 160 80

O

20

40

60

80

x克

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函数的增量设函数 f ( x )在U δ ( x0 )内有定义 , x ∈ U δ ( x0 ), x = x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.

y = f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于 x的增量 .5

yy = f (x)

y y y

y = f (x)

xx 0 + x

0

x x0 x 0 + x x

0

x0

x

①增量 x、 y可以是正的,可以是负的,也可以为零； ②记号 x是一个整体不可分割的记号。首 页 上 页 下 页 尾 页

f ( x )在点 x 连续的定义0

内有定义, 定义 1 设函数 f (x )在U δ (x0 )内有定义,如 趋向于零时, 果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函6连 续 的 定 义 1

数的增量 y 也趋向于零,即 也趋向于零, lim y = 0 → x → 0

或

x → 0

lim[ f (x 0 + x )- f (x 0 )]= 0 →

连续. 那末就称函数 f (x )在点 x 0 连续.首 页 上 页 下 页 尾 页

连续的定义2 连续的定义定义1’. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ).

则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.7

当f ( ) (x)为多项式时, 有 ,x→x0x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ).x → x0

并且, lim sin x = sin x0 lim cos x = cos x0

所以, 多项式及正、余弦函数在任何点x0处连续.首 页 上 页 下 页 尾 页

连续的定义3 连续的定义

连续定义也可用ε δ 语言给出。 定义1” f (x)在x0连续的“ε δ ”定 义 (x)在x 的某邻域U(x )内有定义.若 设f0 0

ε >0, δ >0, 当|x x0|<δ 时, 有8

|f(x)-f(x0)|<ε . 则称f (x)在x0处连续. 注意: 与极限定义的比较。

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定义1’. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ).

函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件:

(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x9连 续 条 件

( 2) lim f ( x )存在;x → x0

( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).x → x0

如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称 函数 f ( x)在点 x0处不连续.首 页 上 页 下 页 尾 页

单侧连续+ 定义2. 设f (x)在x0的某右邻域 U ( x0 ) (某左邻域 U ( x0 ) )内有定义,

若 lim f ( x) = f ( x0 )( lim f ( x) = f ( x0 )),+ x → x0 x → x0

10

则称f (x)在x0处右(

左)连续. 结论：函数y=f(x)在点x0处连续 函数y=f(x) 在点x0处左连续且右连续.

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4.连续函数与连续区间 连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区 间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续. 连续函数,或者说函数在该区间上连续 间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续

如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点11连 续 区 间

x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .

多项式函数及正、余弦函数在(﹣∞,﹢∞) 例 多项式函数及正、余弦函数在 连续. 内连续

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函数 f (x)在点x0处连续的三个条件:(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x12连 续 条 件

( 2) lim f ( x )存在;x → x0

( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).x → x0

如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称 函数 f ( x)在点 x0处不连续首 页 上 页 下 页 尾 页

第一类间断点

13

1 x sin , x ≠ 0, 例1 试证函数 f ( x ) = 在x = 0 x 0, x = 0, 处连续 . 1 证 Q lim x sin = 0, x→0 x

又 f ( 0 ) = 0,

lim f ( x ) = f (0), x →0

由定义2知 由定义 知函数 f ( x )在 x = 0处连续.

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x 1, 当x < 0时 问f (x)在x=0是否连续. 例 设f ( x) = x + 1, 当x ≥ 0时,解: f (0)=1

f (0 + 0) = lim+ f ( x) = lim+ ( x + 1) =1 右连续.x →0

x →0

14例

f (0 0) = lim ( x 1) = –1 ≠ f (0) 不左连续.x →0

y 1

y=f (x)

故, f (x)在x=0间断. 图形为o –1首 页 上 页 下 页 尾 页

x

函数 f (x)在x=x0的某空心邻域有定义但在 在 x=x0不连续 则称 0为函数 f (x)的间断点 不连续,则称 则称x 的间断点. 的间断点15不 连 续

(1) f (x)在x0没有定义； 定义； 在 没有定义 (2) f (x)在x0有定义但极限不存在； 在 定义但极限不存在； (3) f (x)在x0有定义但极限不等于 (x0)。 定义但极限不等于f 在 。

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例1 正切函数y=tanx在 x = 所以点x=

π2

处没有定义,

π2

是函数tanx的间断点.16例 一

因

lim tan x = ∞, πx→ 2

我们称 x =

π2

为函数tanx的无穷间断点。

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例2

函数 y = sin 1 在点x=0没有定义;x

当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,1 所以点x=0称为函数 y = sin x

的震荡间断点。1 y = sin x

17例 二

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x2 1 例3 函数 y = 在点x=1没有定义,所以 x 1

函数在点X=1为不连续.但这里x2 1 lim = lim ( x + 1) = 2. x →1 x 1 x →118例 三

如果补充定义:令x=1时y=2, 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去 间断点.

x 2 1 y= x 1

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例4

x, x ≠ 1, 判断函数 (x) = 1 的间断点。 f , x =1 2 x→ 1 x→ 1

因为lim f (x) = lim x =1,19例 4

f (1) = 1 , 2

lim f (x) ≠ f (1) ,x→ 1

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 数的定义 则可使其变为连续点首 页 上 页 下 页 尾 页