高等数学是现代各科知识的理论基础

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高等数学在数学建 模中的应用举例

高等数学是现代各科知识的理论基础，在数 学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分 等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽 象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。 在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生 养成数学建模的习惯。 暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛， 培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。

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例1 舰 艇的会合某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。

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Y 航母 A(0,b) θ1 θ2 O B(0,-b) 护卫舰

P(x,y)

记v2/ v1=a通常a>1 则2

| BP |2 a 2 | AP |2 即：2 2 2 2

x ( y b) a [ x ( y - b) ]可化为：X

a2 1 2ab 令： h 2 b, r 2 a 1 a 1

a 1 4a 2 b 2 x2 y 2 a 1 b (a 2 1) 2 2

2

则上式可简记成 ：

x ( y - h) r2 2

y

y (tan 2 ) x b

汇合点 p必位于此圆上。 即可求出P点的坐标和 θ2 的值。 (护卫舰的路线方程) (tan 1 ) x b 本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 (航母的路线方程 )

2

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例2 双层玻璃的功效在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 不妨可以提出以下 假设： 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 1、设室内热量的流失是热传导 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 引起的，不存在户内外的空气对 差异仅仅在窗户不同。 流。2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。

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室 外

室 内 TaTb T1

设玻璃的热传导系数 为k1,空气的 热传导系数 为k2,单位时间通过单 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为θ 由热传导公式 θ=kΔT/d

T2

d

l 解得：

d

Ta

1 k1l

k 2 d T1 T2 2 (k1l ) /( k 2 d )

T1 Ta Ta Tb Tb T2 k1 k2 k1 d l d

(1 k1l k 2 d )T1 T2 T1 2 k1 l k 2 d T1 T2 k1 k1 d d 2 k1l k 2 d

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室 T1 T2 类似有 k1 内 0.9 室 2d 外 0.8 T1 2 0.7 T2 2 (k1l ) /( k 2 d ) 0.6 0.5 k1 一般 16 ~ 32 故 0.4 k2 d d 0.3 1 0.2 此函数的图形为 记h=l/d并令f(h)= 8h 1 0.11 0

f(h)

1 1 8l / d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h 考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3,即l=3d,此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗 时的 3% 。

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例3 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于

好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。

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方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式

1 h gt 2 2来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2,则可求得h≈78.5 米。

我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。

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除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv

F m

令k=K/m,解得

v ce

dt

mg Kv kt

g k

代入初始条件 v(0)=0,得c=-g/k,故有

g g kt v e k k g g kt 再积分一次，得： h t 2 e c k k

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代入初始条 件h(0)=0,得到计算山崖高度的公式：

g g kt g g 1 kt g h t 2 e 2 (t e ) 2 k k k k k k若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ,即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①,求得h≈69.9米。 再一步深入考虑 进一步深入考虑

①

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还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1,声音传回来的时间记 为t2,还得解一个 方程组： g 1 kt1 g h k ( t1 k e ) k 2 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， h 340t 2 为了估算崖高 t t 3.9 竟要去解一个 1 2 非线性主程组 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 似乎不合情理 用方法二先求一次 h,令t =h/340,校正t,求石块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。2

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例4 录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟 的录像带在开始计数时为 0000,到结束时计 数为1849,实际走时为185分20秒。我们从 0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像 机目前的计数为1428,问是否还能录下一个 60分钟的节目？

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由 π(R r ) ωvt 得到 R r π 又 Δ l RΔ θ 因和 Δ l vΔ t 得 我们希望建立一个录像带已录像时 间t与计数器计 数2 2

vt

1

2

2

ωvt 2 12 带的磁带的厚 度是 常量，它被绕在一个半径 为r的 积分得到 0 dθ 0 v( π r ) dt度v显然也是常数， 园盘上，见图。磁带转动中的线速θ t

v Δθ Δt n之间的函数

关系。为建立一个正确的模型，首 先必 R 须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像

否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数n与 2π ωvt 2 12 t 2π ωvt 2 12 即 θ ( r ) 0 ( r ) r 转过的圈数有关，从而与转过的角 度θ成正比。

ω

π

ω π

从而有

θ 1 ωvt 2 12 n ( r ) r 2π ω π

R

l θ

r

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θ 1 ωvt 2 12 n ( r ) r 2π ω π 此式中的三个参数ω、v和r均不易精确测得， 虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系， 但效果不佳，故令

R

lθ

r

α

v

则可将上式简化为： 故 t n 令2

πω

β πr 2 / v

n α t β β

t= an2+bn

a 1

α

α

2

1 2 2 φ β β 2 n n α α …… 此处隐藏：2951字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……