中山大学线性代数2011年期中考试模拟题及标准答案(教材同济第5版

三．解答证明题（共25分）

1. 取何值时，线性方程组

x1 3x2 x3 1

x1 x2 x3 1 3x x x 1

3 12

有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.（10分）

2.（7分）

3.设A，B都是n阶矩阵，AB A B，证明 （1）A E，B E都可逆； （2）AB BA.（8分）

1.2.

3.BTAT

4.（）

答:由A2 3A E 0 (A 2E)(A E) E,

5. 则(A 2E)的逆矩阵 A E

6.-2

7.10（若是余子式，则答案是2，注意代数余子式和余子式的不同）

8.

9.

10.X=A

-1

CB-1

二．计算题 1. 解法一

由AX B 2X AX 2X B 2X AX B,则(2E A)X B X (2E A) 1B

1 11

2E A 01 2

110

21 21 1 11 1 11

01 2 10 由 01 2 10

31 10 110 02 1

21 21 1 11 1 11

01 2 10 01 2 10

30 10 003 001

1 0 0 1 0 0

10

10010 01001

1

11 2 1 1

1 100

0100 0 001 1 0 0

2

11

1 0 0

2

X 1

1 1

0 0