第三章n维向量空间与线性相关性

QQ空间

第3章 3.1n 维向量

n 维向量及向量组的线性相关性

由解析几何知，二维空间(平面)上的任一向量 a1i a2 j 可用一个二元有序数组 {a1 , a2 } 表示，称之为二维向量，记为 {a1 , a2 } 或 (a 1 , a 2 ) ;

三维空间中的任一向量 a1i a2 j a3 k 可用一个三元有序 数组 {a1 , a2 , a3 } 表示，称之为三维向量，记为 {a1 , a2 , a3 } 或 (a1 , a2 , a3 ) 。

在解析几何中，引入向量的概念，给研究点、线、面之间 的关系带来许多方便。同样地，在本节我们引入 n 维向量 的概念，将对研究某些问题带来极大的方便。

3.1.1

n 维向量的概念数域 F (一般为实数域 R 或复数域 C )中 n 个数

定义 1

a1 , a2 , , an 构成的有序数组，称为数域 F 上的一个 n 维向量。 a i

称为该向量的第 i 个分量 (i 1,2, , n) 。 分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向 量。数域 F 上全体 n 维向量组成的集合记为 F 。特别地，实数n

域 R 上全体 n 维向量组成的集合记为 R n 。

一个 n 维向量有时写成一行 (a1 , a2 , , an ) ,称为行向量(可看作 一个 1 n 矩阵) ; 有时写成一列 a1 a 2 a n

称为列向量(可看作一个 n 1 矩阵) 。

行向量与列向量尽管形式不同， 但本质上是相同的， 且从 矩阵的角度看有 a 1 a T (a1 , a 2 , , a n ) 2 a n

a 1 a 2 (a , a , , a ) 1 2 n , a n

T

本章中， 我们约定， 通常用小写的黑体希腊字母 , , , , 等表示向量。通常使用行向量。即 a1 a2 (a1 , a 2 , , a n ) a n T

a1 a2 T T (a1 , a 2 , , a n ) a n

分量都是 0 的向量称为零向量，记作 0 ,即 O (0,0, ,0) 注意：维数不同的零向量是不同的。 向量 a1 , a2 , , an 称为向量 (a1 , a 2 , , a n ) 的负向量，记作 。 a 1 , a 2 , , a n 。

即

设 (a1 , a 2 , , a n ) , b1 , b2 , , bn 都是 n 维向量，则 当且 仅当 ai bi i 1,2, , n

3.1.2

n 维向量的运算

既然向量可看成矩阵， 那么， 由矩阵运算的定义就可得向 量的运算。 定义 2n (a , a , , a ) b , b , , b F 设 ，k F , 1 2 n , 1 2 n

则规定如下 (1)向量的加法： (a1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n )

(2)数乘向量：

k (ka1 , ka 2 , , ka n )

由负向量的概念即可定义向量的减法：

( ) (a1 b1 , a 2 b 2 , , a n b n )

向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： (1) (2) ( ) ( )

(加法交换律) (加法结合律)

(3) O O (4) ( ) O (5) 1 (6) k l kl (8) k l k l (数乘结合律) (7) k k k (数对向量的分配律) (向量对数的分配律)

其中 , , F n , 1, k , l F , O 为 F n 中的零向量。

在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算

定义 3 数域 F (一般为实数域 R 或复数域 C ) 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的

n 维向量空间，仍记为 F 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空n

间，记为 R n 。

3.2 向量组的线性相关性 本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量 之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念： 线性组合，线性相关与线性无关。 以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行 讨论，不再每次说明。

3.2.1

线性组合与线性表示 设有 n 维向量 1 , 2 , , m 及 ,如果存在一组数

定义 1

k1 , k 2 , , k m ,使得

k1 1 k 2 2 k m m

(3-1)

则称 是 向量组 1 , 2 , , m 的 线性组 合，或 可由 向量组 1 , 2 , , m 线性表示。其中 k1 , k 2 , , k m 称为组合系数。

特别地, (1) 设有两个向量 , ,若存在数 k ,使得 k ,则称向量 ,

成比例。

(2) 设有两个 n 维向量组A : 1 , 2 , , r

B : 1 , 2 , , s

如果向量组 A 中的每个向量都能由向量组 B 中的向量 线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。

如果向量组 A 能由向量组 B 线性表示， 且向量组 B 能 由向量组 A 线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价。 记作：{ 1 , 2 , , r }

~

{ 1 , 2 , , s }

向量组的等价是向量组之间的一种关系， 显然， 这种关系 有如下性质： (1) 自反性 (2) 对称性 (3) 若 则{ 1 , 2 , , r } ~ { 1 , 2 , , s }

{ 1 , 2 , , r } ~ { 1 , 2 , , r }

{ 1 , 2 , , s } ~ { 1 , 2 , , r }

(4) 传递性 若 且 则{ 1 , 2 , , r } ~ { 1 , 2 , , s } ,{ 1 , 2 , , s } ~ { 1 , 2 , , t }

{ 1 , 2 , , r } ~ { 1 , 2 , , t }

例 1 设 1 2 , 0 , 2 , 2 3

, 0 , 3 , 3 1 , 0 , 1 则， 2 1 3 ,故 2 是 1 , 3 的线性组合，即 2 可由 1 , 3 线性表示。 由线性表示的定义易知： (1)零向量可由任何向量组线性表示。且有O 0 1 0 2 0 m

(3-2)

( 2 )任 何 一个 n 维 向 量 (a1 , a 2 , , a n ) , 均 可由 1 , 2 , , n 线性表示。且有

a 1 1 a 2 2 a n n其中 1 1 , 0 , , 0 2 0 , 1 , , 0 n 0 , 0 , , 1

(3-3)

(3-4)

称为 n 维向量空间中的一组标准单位向量。

由定义出发判断一个向量 是否可由向量组 1 , 2 , , n 线性表示，往往比较困难。 由向量与矩阵的定义知： 一个 m n 矩阵 A aij m n 可看 成是由 m 个行向量构成，也可看成是由 n 个列向量构成，

对于一个有 m 个方程， n 个未知量的线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m2 x 2 a mn x n bm

(3-5)

若记 a1n a12 b1 a11 a a b a n 2n 2 1 21 2 22 , ,…, , a a a bm m2 m1 mn

则， (3-5)式的向量形式为x1 1 x2 2 xn n

(3-6)