高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)(4)

这个解答是错误的，正确的解答应该如下：

我们发生错误的原因是

是对自变量x求导，而不是对2x求导。

下面我们给出复合函数的求导法则 复合函数的求导规则

规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：

，其中u为中间变量

例题：已知，求

解答：设,则可分解为,因此

注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。

例题：已知，求

解答：

反函数求导法则

根据反函数的定义，函数

为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出

反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：

定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有：

注：

通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。

即：

例题：求

是对y求导，

的导数.

，故

则：

是对x求导

解答：此函数的反函数为

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例题：求的导数.

，故

则：

解答：此函数的反函数为

高阶导数

我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：

，而加速度a又是速

度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：

做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义：

定义：函数

的导数

仍然是x的函数.我们把

，或。这种导数的导数叫

的导数叫做函数的二阶导

数

，记作

或

，即：

或.

相应地，把

的导数

叫做函数

的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数， ，一般地(n-1)阶

导数的导数叫做n阶导数.

分别记作：，， ，或，， ，

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。

例题：已知例题：求对数函数

，求

解答：因为的n阶导数。

=a，故

=0

解答：，，，，

一般地，可得隐函数及其求导法则

我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.

一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！