高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)(2)

与函数

是不能复合成一个函数的。

都没有定

的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使

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⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

例题：

7、双曲函数及反双曲函数

⑴、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述) 是初等函数。

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我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：

双曲函数也有和差公式：

⑵、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数. a)：反双曲正弦函数 b)：反双曲余弦函数

其定义域为：(-∞,+∞)； 其定义域为：[1,+∞)；

c)：反双曲正切函数 8、数列的极限

其定义域为：(-1,+1)；

我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。

⑴、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2， ，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2， ，an， 为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.

注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=⑵、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。 例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。

设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去(一般把内接正6×2边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3， ，An， ，它们就构成一列有序数列。我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3， ，An， 当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。

注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。

n-1

，它的定义域是全体正整数

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⑶、数列的极限：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整

数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .

记作：或

才能表达出

与a无限接近的意思。且定义中的正整数N

注：此定义中的正数ε

只有任意给定，不等式

与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。

⑷、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列

极限为a的一个几何解释：将常数a及数列

在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上

作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：

因不等式与不等式等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区间(a-ε，a+ε)内，

而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。

注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。 ⑸、数列的有界性：对于数列若正数M不存在，则可说数列

定理：若数列

，若存在着正数M，使得一切

都满足不等式│

│≤M，则称数列

是有界的，

是无界的。

一定有界。

收敛，那末数列

注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1， ，(-1)， 是有界的，但它是发散的。

9、函数的极限

前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.

函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢 ?

下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念! ⑴、函数的极限(分两种情况) a):自变量趋向无穷大时函数的极限 定义：设函数的一切x，所对应的函数值

，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式

都满足不等式

n+1

那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限，记作：

下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：

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从上表我们发现了什么 ？？试思考之

b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.

例：函数，当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上

任何一个有限的范围内，都有无穷多个点，为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:

从中我们可以看出x→1时，

→2.而且只要x与1有多接近，

就与2有多接近.或说：只要

与2只差

一个微量ε，就一定可以找到一个δ，当＜δ时满足＜δ定义：设函数在某点x0的某个去心邻＜δ时，

＜

域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜

ε则称函数当x→x0时存在极限，且极限为A，记：。

注：在定义中为什么是在去心邻域内呢？这是因为我们只讨论x→x0的过程，与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的ε，是否存在正数δ，使其在去心邻域内的x均满足不等式。

有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取ε＞0； b):写出不等式

＜ε；

＜δ，若能；

c):解不等式能否得出去心邻域0＜

d):则对于任给的ε＞0，总能找出δ，当0＜

10、函数极限的运算规则

＜δ时，＜ε成立，因此

前面已经学习了数列极限的运算规则，我们知道数列可作为一类特殊的函数，故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则

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若已知x→x0(或x→∞)时，.

则：

推论：

在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题：求

解答：

例题：求

此题如果像上题那样求解，则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限，像这种情况怎么办呢？下面我们把它解出来。

解答：

注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了，应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子：

例：符号函数为

对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。 定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数

与常量A无限接近，则称A为函数

当

时的 …… 此处隐藏：2705字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……