2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编3：三角函数(2)

OMN的面积取到最小值.即2 POM 30 时,

OMN的面积的最小值为8 .

b. 33．（2013年高考陕西卷（文）

）已知向量a (cosx, ),b x,cos2x),x R, 设函数f(x) a·

1

2

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在 0, 上的最大值和最小值.

2 b=cosx 【答案】(Ⅰ) f(x) a·

131

3sinx cos2x sin2x cos2x sin(2x ).

2226

最小正周期T

2

. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 2

所以f(x) sin(2x

6

),最小正周期为 . [来源:学,科,网Z,X,X,K]

(Ⅱ) 当x [0,

2

]时，(2x

6

) [-

5

6,6

]，由标准函数y sinx在[-

5

6,6

]上的图像知，.

f(x) sin(2x

1

) [f(-),f()] [ ,1]. 6622

1

所以,f (x) 在 0, 上的最大值和最小值分别为1, .

2 2

34．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)

在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、

c,且a b c. (Ⅰ)求A;

222

(Ⅱ)设a S为△ABC的面积,求S 3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.

【答案】

35．（2013年高考四川卷（文））在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

3

cos(A B)cosB sin(A B)sin(A c) .

5

(Ⅰ)求sinA的值;

(Ⅱ)

若a b 5,求向量BA在BC方向上的投影.

【答案】解:(Ⅰ)由cos(A B)cosB sin(A B)sin(A c) 得

35

3

cos(A B)cosB sin(A B)sinB ,

5

33

则 cos(A B B) ,即 cosA

554

又0 A ,则 sinA

5

bsinA2ab

(Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以sinB ,

a2sinAsinB

由题知a b,则 A B,故B

4

.

根据余弦定理,有 (42)2 52 c2 2 5c ( ), 解得 c 1 或 c 7(负值舍去),

35

2 2

36．（2013年高考江西卷（文））在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.

向量BA在BCB

(1)求证:a,b,c成等差数列;(2) 若C=

2 3

,求

a

的值. b

2

2

【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sinB=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sinB

因为sinB不为0,所以sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列

222

(2)由余弦定理知c a b 2accosC得(2b a) a b 2accos

2

2

2

2 a3化简得 3b5

37．（2013年高考湖北卷（文））在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c. 已知

cosA2 3coBs (C . )

(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC

的面积S b 5,求sinBsinC的值.

【答案】(Ⅰ)由cos2A 3cos(B C) 1,得2cos2A 3cosA 2 0,

即(2cosA 1)(cosA 2) 0,解得cosA 因为0 A π,所以A

1

或cosA 2(舍去). 2

π

.

3

11 得bc 20. 又b 5,知c 4. (Ⅱ)由S bcsinA bc22由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 25 16 20

21,故a bcbc2035

又由正弦定理得sinBsinC sinA sinA 2sin2A .

aaa2147

38．（2013年高考安徽（文））设函数f(x) sinx sin(x

3

).

(Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;

(Ⅱ)不画图,说明函数y f(x)的图像可由y sinx的图象经过怎样的变化得到.

【答案】解:(1)

f(x) sinx sinxcos

3

cosxsin

3

1333

sinx sinx cosx sinx cosx

2222

33

()2 ()2sin(x ) 3sin(x )

2266

3 4

2k , x 2k ,(k Z)

6623

4

2k ,k Z}. 所以,f(x)的最小值为 3,此时x 的集合{x|x 3

当sin(x

) 1时,f(x)min 3,此时x

(2)y sinx横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得y 3sinx;

然后y 3sinx向左平移

个单位,得f(x) 3sin(x ) 66

2

fx） (2cosx 1)sin2x 39．（2013年高考北京卷（文））已知函数（

1

cos4x. 2

fx）(I)求（的最小正周期及最大值;

(II)若 (

2

, ),

且（f ）

,求 的值. 2

2

fx） (2cosx 1)sin2x 【答案】解:(I)因为（

=

11

cos4x=cos2xsin2x cos4x 22

1 (sin4x

cos4x)=. x ),所以f(x)的最小正周期为,

最大值为22242

(II)

因为（f ） 所以4

,所以sin(4 ) 1. 因为 (, ),

422

4

(

9 17 5 9

,),所以4 ,故 . 444216

40．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.

已知函数f(x) 2sin( x),其中常数 0. (1)令 1,判断函数F(x) f(x) f(x

2

)的奇偶性并说明理由;

(2)令 2,将函数y f(x)的图像向左平移

个单位,再往上平移1个单位,得到函数y g(x)的图6

像.对任意的a R,求y g(x)在区间[a,a 10 ]上零点个数的所有可能值.

【答案】法一:解

:(1)F(x) 2sinx 2sin(x

) 2sinx 2cosx x ) 24

F(x)是非奇函数非偶函数.

∵F(

) 0,F() ∴F( ) F(),F( ) F()

444444

∴函数F(x) f(x) f(x

2

)是既不是奇函数也不是偶函数.

(2) 2时,f(x) 2sin2x,g(x) 2sin2(x 其最小正周期T

) 1 2sin(2x ) 1,

63

1

) 1 0,得sin(2x ) , 332 k k ( 1)k ,k Z ∴2x k ( 1) ,k Z,即x 362126

由2sin(2x

区间 a,a 10 的长度为10个周期,

若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;

若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当a 法二

:

k

( 1)k ,k Z时,21个,否则20个. 2126

41．（2013年高考辽宁卷（文））

设向量a

x,sinx,b cosx,sinx ,x 0, .

2

(I)若a b.求x的值； (II)设函数f x a b,求f x 的最大值.

【答案】