求函数的定义域与值域的常用方法1(2)

。 为增函数，故当x＝4时，ymin＝2；当x＝5时，ymax＝5，所以函数的值域为

5

13

y 2x

0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

x,x [1,2]

2

例16. 求函数y x,x (2,3]的值域。

2x 1,x (3,4]

解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。 7、图像法：

2 x,x≥2,

例17设f(x)＝ 若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是 ( )

x,x<1,

A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞) C.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，＋∞)，

若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).

故选B.

8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例18求函数y

1 21 21 21 2

xx

的值域。

xx

解：由y 解得2

x

1 y1 y

，

∵2 0，∴

x

1 y1 y

xx

0，∴ 1 y 1

∴函数y

1 21 2

的值域为y ( 1,1)。

9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例19：求函数y

x 1x 1

2

2

的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y 1)x (y 1)，

2

∵y 1，∴x

2

y 1y 1

（x R，y 1），

∴

y 1y 1

0，∴ 1 y 1，

∴函数y

x 1x 1

2

2

的值域为{y| 1 y 1}