求函数的定义域与值域的常用方法1

函数的定义域与值域的常用方法

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域； （三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N； 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。 解：由4x2－9y2＝36可解得：

x 3 3y

3 x 3

3 。

y

说明：

这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

3

的形式。

y

解：设

k

x，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为

y

780x

,x 0

。

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

f(

例3. 已知

x 1xx 1x

)

x x 1

xx

2

2

，试求

f(x)。

2

2

t

解：设

1

t 1，代入条件式可得：f(t) t t 1，t≠1。故得：f(x) x x 1,x 1。

，则

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

12

f(x) 2f() 3x 4x 5

f(x)x例4. （1）已知，试求；

（2）已知

f(x) 2f( x) 3x 4x 5

2

，试求

f(x)

；

1 111

f f() 2f(x) 32 4 5

xxxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，消去 ，则得：

1

f

x

2x

2

83x

x

2

4x3

53。

（2）由条件式，以－x代x则得：

f( x) 2f(x) 3x 4x 5

2

，与条件式联立，消去

f x

，则得：

f x x 4x

2

53。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；

y 当x∈（1，2

）时：

当x∈（2，3）时：

故综上所述，有

y

x, x 0,1

y x (1,2]

x (2,3]

考点二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

y

例

6. 求

x 3x 4

的定义域。

x 2 0

x 4

解：由题意知： ，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出，求其定义域

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义

域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

例8 已知f(x) g(x)

x求y f(g(x))的定义域.

由f(x)

解：

x 3 g(x) 3

3

又由于x2－4x＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：

4

x 1或3 x

4

9 9 故所求定义域为 x| x 1或3 x 44

例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］， …… 此处隐藏：2336字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……