河海大学弹性力学徐芝纶版 第八章

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第八章

空间问题的解答

第一节 第二节 第三节

按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力

第四节第五节 第六节 第七节 第八节

按应力求解空间问题等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转

例题

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空间问题的解答

按位移求解

§8-1 按位移求解空间问题在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即 1. 取u,v,w为基本未知函数。 2. 将应变用位移来表示，可以引用几 何方程。

将应力先用应变表示(应用物理方程), 再代入几何方程，也用位移来表示：

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空间问题的解答

按位移求解

E μ u σx , 1 μ 1 2μ x ( x, y, z; u, v, w). (a) E w v τ yz , 2 1 μ y z

其中体积应变 u v w。 x y z

3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：

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空间问题的解答

V内基本方程

E 1 2 u f x 0, 2 1 μ 1 2 μ x

( x, y, z; u, v, w).其中拉普拉斯算子 2 2 2. x y z2 2 2 2

(b)

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空间问题的解答

边界条件

4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：E μ u m v u n w u l f x , 1 μ 1 2μ x 2 x y 2 x z s

( x, y, z; u, v, w).

(在sσ 上)

(c)

位移边界条件仍为:

u s u,

( x, y, z; u, v, w). (在su 上)(d)

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空间问题的解答

按位移求解

归结：按位移求解空间问题，位移

u ,v , w

必须满足：

(1)V内的平衡微分方程(b) ; (2)sσ上的应力边界条件(c) ;

su 上的位移边界条件(d) 。 ( 3)

这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。

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空间问题的解答

优点

在空间问题中，按位移求解方法尤为 重要：1.能适用于各种边界条件。 2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。

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轴对称问题

按位移求解空间轴对称问题: 在柱坐标 ( , , z )中，可以相似地导出： 位移 uρ , u z 应满足： (1)V内的平衡微分方程， u 1 E 2 u 2 f 0, 2 1 1 2 E 1 2 u f 0, z z 2(1 ) 1 2 z

(e)

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空间问题的解

答

轴对称问题

其中体积应变

u u u z ; z

轴对称的拉普拉斯算子为2 1 2 . 2

( 2) Sσ 上的应力边界条件。 (3)Su 上的位移边界条件。

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空间问题的解答

思考题1、试导出空间问题中 Sσ 上的应力边界条件 (8-4)。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程(书中式(8-4)),并将 sσ上的应力边界条件 (σ s ) f 用位移来 表示。

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问题

§ 8- 2

半空间体受重力 及均布压力

设有半空间体，受自重体力 f z ρg 及边界的均布压力q。

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求解方法

采用按位移求解：

位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。

考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设

u 0,

v 0,

w w z .

(a)

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求解方程

(1)将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程， 1 d2 w d2 w E g 0. 2 2 2 1 1 2 d z dz

积分两次, 得1 1 2 2 w z A B. 2 E 1 (b)

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求解方程

相应的应力为

σx σy

g z A , 1

σ z g z A ,

yz zx xy 0。

(c)

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边界条件

(2)在z=0的负z面，应力边界条件为

0, z 0 (d) ( z ) z 0 q. 由式(d)求出A,得应力解为 σx σ y q gz , 1 z (q gz ), (e) yz zx xy 0.zx

, zy

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空间问题的解答

位移解为1 1 2 g q w z 2 E 1 g 2

B.

(f )

其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。 若为半无限大空间体，则没有约束条

件可以确定 B ;若z=h为刚性层，则由( w) z h 0 可以确 定B。

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侧压力系数

侧面压力与铅直压力之比，称为侧压

力系数。即

σx σy 。 σz σz 1

(g)

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空间问题的解答

讨论：1 当 μ 时， σ x σ y σ z。 侧向变形最 2

大，侧向压力也最大 , 说明物体的刚度极小，

接近于流体。当 0 时，正应力不引起侧向变形。

说明物体的刚度极大，接近于刚体。

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空间问题的解答

思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？