线性代数历年考研试题之计算题与证明题(3)

0 0

时, 可由 1, 2, 3惟一地线性表

(3 ) 0 3

方法二: 1, 2, 3

11 1

111

2(3 ).

11

(1)当1, 2, 3 0 (2)当 0时,

0

时,R( 1, 2, 3) 3, 可由 1, 2, 3惟一地线性表示;

3

111 0 111 0 r

( 1, 2, 3 ) 111 0 000 0 ,

111 0 000 0

R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 1 3, 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式不惟一;

(3)当 3时,R( 1, 2, 3) 2 R( 1, 2, 3, ) 3, 不能由 1, 2, 3线性表示. 【注意】

(1)向量 可由 1, 2, , m线性表示 x1 1 x2 2 xm m 有解

( 1, 2, , m)x 有解 Ax 有解,其中A ( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m ).

(2)本题实质上等价为

(1 )x1 x2 x3 0

问 取何值时,线性方程组 x1 (1 )x2 x3 有惟一解,无解,有无穷多解.

2x x (1 )x 3 12

27.(1991—Ⅳ)考虑二次型

22

f x12 x2 x3 2 x1x2 2x1x3 4x2x3

问 取何值时,f为正定二次型?

【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.

1

解 二次型的矩阵A 4

12 1 2 .则 4

1 1 0

1

4 2 0 2 1. f为正定二次型 2 4

A 4(1 )(2 ) 0 3

28.(1991—Ⅳ)试证明n维列向量 1, 2, , n线性无关的充分必要条件是

D

1T 1 1T 2 1T nTTT 2 1 2 2 2 n

TTT n 1 n 2 n n

0,

其中 iT表示列向量 i的转置,i 1,2, ,n.

【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.

证 n维列向量 1, 2, , n线性无关 A 1, 2, , n 0.又

1T 1T 1 1T 2 T TT 2 1 2 2T2 AA 1, 2, , n T T T

n2 n n1

2

1T n

T

2 n

, T

n n

则D ATA A,即D 0 A 0.

29.(1991—Ⅴ)设n阶矩阵A和B满足条件A B AB.

1 30

(1)证明A E为可逆矩阵; (2)已知B 210 ,求矩阵A.

002

【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.

证 (1)由A B AB (A E)B (A E) E (A E)(B E) E,则A E可逆.

1 1 1

(2)由(1)得,A (B E) E

3 0

1210

0 0 . 2

211

30.(1991—Ⅴ)已知向量 (1,k,1)T是矩阵A 121 的逆矩阵A 1的特征向量,试求常数k的值.

112

【考点】特征值与特征向量的概念.

解 设 为对应于 的A 1的特征值,则A 1 A .解方程组得k 1或 2.

【注意】

(1)已知含参数的矩阵A的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;

(2)已知含参数的矩阵A的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之. 31.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设向量组 1, 2, 3线性相关,向量组 2, 3, 4线性无关,问: （1） 1能否由 2, 3线性表出?证明你的结论. （2） 4能否由 1, 2, 3线性表出?证明你的结论. 【考点】向量组线性相关的性质.

解 (1) 1能由 2, 3线性表出.事实上, 2, 3, 4线性无关,则 2, 3线性无关,又 1, 2, 3线性相关,所以 1

能由 2, 3线性表出.

(2) 4不能由 1, 2, 3线性表出.

方法一: R( 1, 2, 3| 4) R( 2, 3, 4) 3 R( 2, 3) R( 1, 2, 3).

方法二:假设 4能由 1, 2, 3线性表出.由(1)知 1能由 2, 3线性表出,则 4能由 2, 3线性表出,与

2, 3, 4线性无关矛盾.

32.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设三阶矩阵A的特征值为 1 1, 2 2, 3 3,对应的特征向量依次为

1 1 1 1 , 2 , 3 1 1 1 ,又向量23 . 1 4 9 3

（1）将 用 1, 2, 3线性表出; （2）求An (n为自然数). 【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.

x1

解 (1)解方程组x1 1 x2 2 x3 3 ( 1, 2, 3) x2 得 2 1 2 2 3.

x 3

2 2n 1 3n

(2)An 2An 1 2An 2 An 3 2 1n 1 2 2n 2 3n 3 2 2n 2 3n 1 .

2 2n 3 3n 2

33.(1992—Ⅱ)设A,B为3阶矩阵,I为三阶单位矩阵,满足AB I A2 B,又知

101

A 020 ,

101

求矩阵B.

34.(1992—Ⅳ)设矩阵A与B相似,其中

200 100

,B 020 A 2x2 .

311 00y

(1)求x和y的值; (2)求可逆矩阵P,使P 1AP B.

【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化. 解 (1)方法一:A与B相似,则A E B E,即

(2 )( 2 (x 1) (x 2)) (1 )(2 )(y ),

解得x 0,y 2.

方法二:显然B的特征值为 1,2,y;A有特征值 2.A与B相似,则A与B有相同的特征值,故y 2.又

( 1) 2 y ( 2) x 1 x 0

0 0 1 (2)A的对应于特征值 1,2, 2的特征向量分别为p1 2 ,p2 1 ,p3 0 ,令可逆矩阵 1 1 1

P (p1,p2,p3),则P 1AP B.

【注意】

( 1) 2 y ( 2) x 1

(1) 对(1)求解时,若由 ,得x,y有无穷多解,此时这种方法失效.

( 1) 2 y A 2(x 2)

(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一

下吗? 35.(1992—Ⅳ)已知三阶矩阵B O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:

x1 2x2 2x3 0,

2x1 x2 x3 0, 3x x x 0. 123

(1)求 的值; (2)证明B 0.

【考点】线性方程组解的理论的应用.

解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式

1

21

2

A 2 1

3

5( 1) 0 1.

1

(2)由题意,得AB 0.若B 0 A 0,矛盾,所以B 0.

或 由AB 0 R(A) R(B) 3;又A 0 R(A) 1,则R(B) 3 B 0. 【注意】

(1) 若Am sBs n 0,则有下面两个常用的结论:①R(A) R(B) s.②若B O,则齐次线性方程组Am sx 0

有非零解.

(2)An n 0 R(A) n,即非奇异矩阵就是降秩矩阵.

AO

36.(1992—Ⅳ)设A,B分别为m,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C 是否是正定矩阵. OB

【考点】正定矩阵的判别定理.

解 方法一:用定义证明. 0,不妨设x 0,则xTAx 0,yTBy 0,故

x

y

x x T C x y y

T

AO x TTyT xAx yBy 0,

OB y

即C

O

AO

是正定矩阵. B

A EO

OB E

A E B E,即C的特征值由A,B的特征值的全

方法二:用特征值证明.C E

部.而A,B的特征值全大于零,则C的特征值全大于零,即C是正定矩阵.

【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.

101

37.(1992—Ⅴ)设矩阵A 020 ,矩阵X满足AX I A2 X,其中I为三阶单位矩阵.试求出矩阵X.

101

【考点】解矩阵方程.

解 由AX I A2 X (A I)X (A I)(A I).又A I 1 0,则