线性代数历年考研试题之计算题与证明题

三、计算题与证明题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问a,b为何值时,线性方程组

x1 x2 x3 x4 0, x 2x 2x 1, 234

x (a 3)x 2x b,34 2 3x1 2x2 x3 ax4 1

有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.

【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.

1

0r

解 方法一: B A b

0 0

1

0

122 1 . 0a 10 b 1

00a 1 0

11

(1)当R(A) 4 a 1时,方程组有惟一解; (2)当a 1时,方程组无解或无穷多解,此时

1 0r

B A b

0 0

111

0

122 1 . 000 b 1

000 0

①当b 1时,R(A) R(B) 2 4,方程组有无穷多解;此时

1 0r

B A b

0 00 1 1 1 122 1 , 000 0

000 0

1 1 1 2 2 1

方程组的通解为x k1 k2 ,k1,k2为任意常数;

1 0 0 0 1 0

②当b 1时,R(A) 2,R(B) 3,方程组无解. 综上可得:

(1)当a 1时,方程组有惟一解;

(2)当a 1,b 1时,方程组有无穷多解; (3)当a 1,b 1时,方程组无解.

2

方法二:方程组的系数行列式A (a 1).

(1)当A (a 1)2 a 1时,方程组有惟一解;

(2)以下同方法一. 【注意】

(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是: ①方程的个数等于未知数的个数; ②方程组的系数行列式含参数. (2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.

2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设A为n阶矩阵, 1和 2是A的两个不同的特征值;x1,x2是分别属于 1和 2的特征

向量,试证明x1 x2不是A的特征向量.

【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.

解 反证法:假设x1 x2是A的特征向量,则存在数 ,使得A(x1 x2) (x1 x2),则

( 1)x1 ( 2)x2 0.

1 0

1 2.矛盾. 因为 1 2,所以x1,x2线性无关,则

0 2

【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.

423

3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A和B满足关系式AB A 2B,其中A 110 ,求矩阵B.

123

【考点】解矩阵方程.

解 由B A 2B B (A 2E) 1A

1 4 3 423 3 8 6

110 2 9 6 1 5 3 .

164 123 2129

4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组

2x1 x2 4x3 3x4 4, x x x 3, 134

3x1 x2 x3 1, 7x1 7x3 3x4 3.

4 3 1 1 1

0 7 3

4

r 3 1 3

1000

01 00

100

0 1 0

3

8 . 6 0

【考点】求解非齐次线性方程组.

2 1 10

解 B (A|b)

31

70

2 0

x1 x3 3

由R(A) R(B) 3 4,得方程组有无穷多解.方程组的解 x2 2x3 8,令x3 k得方程组的通解

x 6 3

x1 3 1 x 8 2

2 k ,k为任意常数. x3 0 1 x6 0 4

3 12

5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵A 0 14 的实特征值及对应的特征向量.

101

【考点】求矩阵的特征值及特征向量.

) (2 4 解 A E (1

0

25)A的实特征值 1.解(A E)x 0得其对应的特征向量x k ,得 , 1

其中k为不为零的任意常数.

6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP PB,其中

100 100

,P 2 10 B 000 ,

00 1 211

求A及A5.

【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.

解 AP PB

A

0 10

1

PBP 200 .

6 1 1

A5 PB5P 1 PBP 1 A.

【注意】若A PBP 1,则Ak PBkP 1;一般地,设 (x) amxm a1x a0,则方阵A的多项式

(A) amAm a1A a0E P (B)P 1.

200 200

7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵A 001 与B 0y0 相似:

01x 00 1

(1)求x与y;（2）求一个满足P 1AP B的可逆矩阵P.

【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法. 解 (1)方法一:A与B相似,则A E B E,即

(2 )( 2 x 1) (2 )( 2 (1 y) y),

比较系数,得

x 1 y x 0

.

1 yy 1

方法二:B的特征值为2,y, 1.由A与B相似,则A的特征值为2,y, 1.故

2 y ( 1) 2 0 x x 0

.

y 1 2 y ( 1) A 2

【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失

效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.

(2)分别求出A的对应于特征值 1 2, 2 1, 3 1的线性无关的特征向量为

1 0 0 ,p 1 ,p 1 p1 0 2 3 . 0 1 1

p2

100

1

p3 01 1,则PAP B.

011

1

,求(3A) 1 2A*. 2

令可逆矩阵P p1

8.(1988—Ⅳ) 设3阶方阵A的伴随矩阵为A*,且A

【考点】矩阵运算的性质. 解 (3A) 1 2A*

1 1211

A 2AA A ,所以

33

2 128116

A ( )3A 1 . 3327A27

(3A) 1 2A*

或

1 11A*4*

(3A) 2A A 2A 2A* A*,则

33A3

1

*

(3A) 1 2A*

4*464163 1

A ( )3A* A . 332727

【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:

A**1n 11 1 1

;A AA 1;A 1 ;A* A. (kA) A,k 0;A AAk

1

9.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设向量组 1, 2, , s(s 2)线性无关,且

1 1 2, 2 2 3, , s 1 s 1 s, s s 1，

讨论向量组 1, 2, , s的线性相关性.

【考点】向量组的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设x1 1 x2 2 xs s 0,即

(x1 xs) 1 (x1 x2) 2 (xs 1 xs) s 0.

x1 xs 0

x1 x2 0

因为 1, 2, , s线性无关,则 ,其系数行列式

xs 1 xs 0

100 01110 00

A 011 00 1 ( 1)s 1.

000 11

(1)当s为奇数,A 2 0,方程组只有零解,则向量组 1, 2, , s线性无关; (2)当s为偶数,A 0,方程组有非零解,则向量组 1, 2, , s线性相关. 方法二:显然

1

1

( 1, 2, , s) ( 1, 2, , s) 0

0 00 01

10 00

11 00 ( 1, 2, , s)Ks s,

00 11

因为 1, 2, , s线性无关,则R( 1, 2, , s) min{R( 1, 2, , s),R(K)} R(K) 关;

关.

【注意】

(1)已知 1, 2, , m可由 1, 2, , m线性表示的具体表达式,且 1, 2, , m线性无关时,用方法二求

s 1

(2)R(K) s K 1 ( 1) 0 s为偶数时,R( 1, 2, , s) s,则向量组 1, 2, , s线性相s 1

(1)R(K) s K 1 ( 1) 0 s为奇数时,R( …… 此处隐藏：2871字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……