线性代数历年考研试题之计算题与证明题(2)

Ax x A(Ax) A( x) Ax x A 1x

*

*

*

1 1 1

0

1

A

x.

(2) Ax x A(Ax) A( x) Ax Ax A*x

0

x.

010 1 1

14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知X AX B,其中A 111 ,B 20 ,求矩阵X.

10 1 5 3

【考点】解矩阵方程.

) 1解 X (E A

2 0

1B 32 3

0 11 1 1

1 2 0 1 5 3 3 1

2 0 . 1 1

15. (1989—Ⅳ)设 1 (1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (1,3,t). （1）问当t为何值时,向量组 1, 2, 3线性无关? （2）问当t为何值时,向量组 1, 2, 3线性相关?

1, 2, 3 3 1 2【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式. 解 方法一:(一般情形) 111 1

A ( TTT

11

1, 2, 3) 123 r

01 . 3t 2

1 00t 5

(1)当t 5时,R( TTT

1, 2, 3) R( 1, 2, 3) 3 1, 2, 3线性无关;

(2)当t 5时,R( TTT1, 2, 3) R(1, 2, 3) 2 3 1, 2, 3线性相关;

111 10 1

(3)当t 5时,( TTT

r

2 1, 2, 3) 123t 01 ,则

13 000

TT 2 T

3 12 3 1 2 2.

1

方法二:(特殊情形) 1, 2, 3线性无关 A 1, 2 ,

12

3t 3t

时, 1, 2, 3线性相关;令 3 x1 1 x2 2 3 1 2 2. 【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.

2 16.(1989—Ⅳ,Ⅴ)设A 12

2 1 2

.

2 2 1

（1）试求矩阵A的特征值;

（2）利用（1）的结果,求矩阵E A 1的特征值,其中E是三阶单位矩阵. 【考点】特征值的计算及特征值的性质.

解 (1) A E (1 )2

(5 ),则A的特征值为1,1, 5.

(2)设 为可逆矩阵A的特征值,x为对应的特征向量,则

Ax x A 1x 1x (E A 1)x (1 1)x,

即1 1为E A 1的特征值.所以E A 1的特征值为2,2,45

.

17. (1989—Ⅴ)讨论向量组 1 (1,1,0), 2 (1,3, 1), 3 (5,3,t)的线性相关性. 【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论.

解 参考15. (1989—Ⅳ).答案:当t 1时线性无关;当t 1时线性相关. 18.(1990—Ⅰ,Ⅱ)设四阶矩阵

5 0t

;当

5t 5

1 100 2 01 10 0

,C B

001 1 0 0001 0134

213 , 021

002

且矩阵A满足关系式

A(E C 1B)TCT E,

其中E为四阶单位矩阵,C 1表示C的逆矩阵,CT表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A.

【考点】解矩阵方程及矩阵的运算.

1T

解 A(E CB)

T

C

E [A 1C( C)TB]

T

C E

1

(A CT)B(

T

C)

T

C E

A(C B)T(CC 1)T E A(C B)T E 0 10

110T 1

A [(C B)]

1 21

01 2

0 0 . 0 1

【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵A的逆矩阵A 1或伴随矩阵A*,利用

AA 1 A 1A E或AA* A*A E

化掉A 1或A*.

19.(1990—Ⅰ,Ⅱ)求一个正交变换化二次型

22

f x12 4x2 4x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3

成标准形.

【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.

1 22

解 (1)写出二次型的矩阵:A 24 4 .

2 44

2

(2)求A的特征值:A E (9 ) A的特征值为 1,2 0, 3 9.

(3)求A的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值 1,2 0的线性无关的特征向量为

2 2 2 2

1 0 1 4 1 1 p ,,正交化得,,

单位化得2121 5

0 1 0 5

,p 2 . 0

1 3

1

2 对应于特征值 1,2 0的线性无关的特征向量为 3 2,单位化得p3 .

3 2

2 3 (4)构造正交变换:令正交矩阵P

p1,p2,p3

x1 x 2 x3

1 3 y

1

2 y2 . 3

y 2 3 3

1 3 2

,则所求正交变换为 3 2 3

2

(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为f 9y3.

【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)写出二次型的矩阵; (2)求A的特征值;

(3)求A的两两正交且单位化的特征向量; (4)构造正交变换;

(5)写出二次型的标准形.

20.(1990—Ⅳ,Ⅴ) 已知线性方程组

x1 x2 x3 x4 x5 a 3x 2x x x 3x 0 12345

x 2x 2x 6x b345 2 5x1 4x2 3x3 3x4 x5 2

（1）a、b为何值时,方程组有解?

（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; （3）方程组有解时,求出方程组的全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.

解 参考10.(1988—Ⅳ,Ⅴ),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).

1 3

B (A|b)

0 5

111

a 1

0r211 3 0

1226 b 0

433 1 2 0

1

1226 3a . 0000 b 3a

0000 2 2a

1111 a

(1)方程组有解 R(A) R(B)

b 3a 0 a 1

;

2 2a 0 b 3

1 0r a 1

(2)当 时,B (A|b)

0 b 3

0

0 1 1 5 2 1226 3 ,方程组的解 0000 0

0000 0

x1 x3 x4 5x5 2

.

x2 2x3 2x4 6x5 3

x3 1 0 0

x x x 5x 1345

方程组的导出组的解 ,令 x4 0 , 1 , 0 ,得方程组的导出组的一个基础解系

x2 2x3 2x4 6x5

x5 0 0 1

1 1 5 2

2 2 6 3 x3 0 x 0

1 1 , 2 0 , 3 0 .令 4 ,得方程组的一个特解 0 .则方程组的通解

x0010 5 0 0 0 1 0 x k1 1 k2 2 k3 3,其中k1,k2,k3为任意常数.

21.(1990—Ⅳ) 已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak 0.试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的

表达式(E为n阶单位阵). 【考点】抽象矩阵求逆.

kkk

证 E E A E A( E )A(E A

k1

,)所以E A可逆,且 A

(E A) 1 E A Ak 1.

22.(1990—Ⅴ)设A为10 10矩阵

0

0 A

010 1010 00

01 00

00 01 00 00

计算行列式A E,其中E为10阶单位矩阵, 为常数.

【考点】行列式的计算. 解 A E

按第一列展开

=

0 10 101.

23.(1990—Ⅴ)设方阵A满足条件ATA E,其中AT是A的转置矩阵, E为单位阵.试证明A的实特征向量

所对应的特征值的绝对值等于1.

【考点】特征值与特征向量的概念.

证 设A的实特征向量x 0所对应的特征值为 ,则Ax x.又

(Ax)T(Ax) ( x)T( x) xTx 2xTx 1 2 1.(xTx x 0)

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