江西省2013年中考数学试题(word版,含解析)(3)

【方法规律】 能从实际问题中抽出数学问题，从题中抽出关键词即要弄清已知什么，要求什么（不要被其它无关信息干扰）.

【关键词】 矿泉水 统计初步

六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍） （参考数据：sin60°=器）

31

，cos60°=，tan60°=，721≈26.851，可使用科学计算22

【答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180° ．

连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH， ∵∠OAB=120°， ∴∠OAE=60° 在Rt△OAE中，

∵∠OAE=60°，OA=10，

∴sin∠OAE=

OEOE

=， OA10

∴OE=5， ∴AE=5.

∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中， ∵OE=5，EB=53，

∴OB=OE BE=2884=2721≈53.70；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称， ∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD， ∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=

2

2

1

π(OB2－OA2) 2

=1392π.

【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．

【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE

的长，进而求得

Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）. 【解答过程】 略.

【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.

【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积

22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C． （1）证明PA是⊙O的切线； （2）求点B的坐标；

（3）求直线AB的解析式．

【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）

∵A（0，2），P（4，2）， ∴AP∥x轴 ．

∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线；

（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D， ∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC， 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC． ∴△OBC≌△PEC． ∴OC=PC．

（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，

∴x2=(4－x)2+22，解得x=∴BC=CE=4－

5

， 4分 2

53=， 22

1113156∵OB²BC=OC²BD，即³2³=³³BD，∴BD=． 2222225

∴OD=OB BD=4 由点B在第四象限可知B（

22

368=， 255

86

， ）；

55

解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC． 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC， ∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC2=CE2＋PE2, ∴x2=(4－x)2+22，解得x=∴BC=CE=4－

5

， 4分 2

53=， 22

∵BD∥x轴，

∴∠COB=∠OBD，

又∵∠OBC=∠BDO=90°， ∴△OBC∽△BDO， ∴

OBCBOC

==， BDODBO

352即==． BDBD2

86∴BD=，OD=．

55

由点B在第四象限可知B（

86

， ）； 55

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，

b 2,

86

由A（0，2），B（， ），可得 86；

55k b 5 5

解得

b 2,

∴直线AB的解析式为y=－2x+2．

k 2,

【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．

【解题思路】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式． 【解答过程】 略.

【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法. 【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式

七、（本大题共2小题，第23题10分，第24 题12分，共22分）

23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，

如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=

1

AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 2

●数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2．．所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状． 答：．

【答案】 解：

●操作发现：①②③④ ●数学思考：

答：MD=ME，MD⊥ME， １、MD=ME；

如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG， ∵M是BC的中点， ∴MF∥AC，MF=

1

AC． 21

AC， 2

又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线， ∴EG⊥AC且EG=∴MF=EG． 同理可证DF=MG．

∵MF∥AC，

∴∠MFA＋∠BAC=180°．

同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA．

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°，

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，

即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， …… 此处隐藏：3029字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……