基于MATLAB的希尔伯特fir滤波器设计(3)

基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计

4.1 Fir滤波器的基本原理及其特点

4.1.1 FIR数字滤波器的基本原理

对于有限冲激响应(FIR)数字滤波器，由于其本质上的稳定性，且可设计成具有严格的线性相位特性，因而得到了广泛的应用。FIR数字滤波器可用很多不同的结构形式来实现。由于硬件实现时,字长总是有限的,量化误差和运算舍人误差又不可避免,因此,人们一直在努力寻找具有最好数值计算性能的实现结构。

Fir滤波器的基本理论是一个线性非时变的有限精度的离散系统。在实现实际上，其滤波功能主要是通过一系列的乘法和加法运算来实现的。对于Fir滤波器来说，也可以通过以下差分方程来描述：

y(n)??h(k)x(n?k) （4-3）

n?0N?1其中，x(n)和y(n) 分别为Fir滤波器的输入序列与输出序列，h(n)是滤波器的单位脉冲响应，它的长度为N。对（4-3）式两边分别进行Z变换并整理即可得到滤波器的系统函数H(z)的表达式：

H(z)??h(n)z?n （4-4）

n?0N?1Fir滤波器的差分方程式（4-3）可以看出：由于系统的单位脉冲y(n)必然也有限，即Fir滤波器是绝对稳定系统；同时，由于Fir滤波器过程是两有限长序列x(n)和h(n)的线性卷积运算，因而可以采用DFT的快速算法FFT来实现，从而提高了算法效率。此外，当h(n)为对称实序列时，Fir滤波器可实现严格的线性相位。

4.1.2 FIR滤波器的基本特点

对于有限长单位冲激响应（FIR）滤波器来说，其具有以下特点： (1) 在有限个n值处对于系统中单位冲激响应h (n)不为零；(2) 对于系统函数H(z)，其在|z|>0处收敛，极点全部在z = 0处（因果系统）其差分方程形式

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为：y(n)??h(k)x(n?k)；(3) 在结构上，有限长单位冲激响应（FIR）滤波器

n?0N?1为非递归结构，就是没有从输出到输入的反馈，但在有些结构中（例如频率抽样结构）也存在包含递归部分的反馈。如果设FIR滤波器的单位冲激响应h (n)为一个N点序列，0?n?N?1，则滤波器的系统函数可以表示为：

H(Z)??h(n)z?n （4-5）

n?0N?1 就是说，它有（N-1）阶极点在z = 0处，在有限z平面的任何位置有（N-1）个零点。

4.2 FIR数字滤波器的设计

对于FIR数字滤波器的设计实质，就是要确定能满足要求的转移序列或脉冲响应的常数问题。Fir滤波器目前常用的设计方法有频率采样法和窗函数法，窗函数法是从时域进行设计，而频率采样法是从频域进行设计。窗函数法由于简单、物理意义清晰，因而得到了较为广泛的应用。

窗函数设计法的基本思路为：选择适当的理想滤波器作为逼近的目标，并用合适的窗函数进行加窗，从而得到实际要设计的滤波器。窗函数法的基本设计步骤包括（1）选择合适的理想滤波器，并确定其传输函数 Hd(ejw)；（2）利用序列的傅立叶反变换式求出其单位脉冲响应hd(n)?IDFT[Hd(ejw)] ；（3）根据设计要求中的过度带宽和阻带最小衰减指标分别确定窗函数的类型?(n)和长度N；(4)对理想滤波器的单位脉冲响应加窗，得到实际滤波器的单位脉冲响应 ；(5)求出实际滤波器的传输函数Hd(ejw)=DFT[hd(n)]，看是否符合设计要求，如不满足，则重新设计。

但对于窗函数设计法，在设计时尽量要满足以下两个条件:(1)窗谱主辨尽可能窄,以获得较陡的过渡带;(2)尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度,使能量尽量集中于主辨,进而增加阻带的衰减。

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基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计

5 希尔伯特fir滤波器

对于线性相位的FIR数字滤波器，可以被分为四种类型，都具有特定的表示和形状，对于每种情形下的频率响应函数来说。但对这四种滤波器的频率响应函数来说，可以被统一表示为：

H(ejw)?e?wej?kHr(ejw) (5-1)

式中，??(N?1)2 ，????2 ，k=0时为I、Ⅱ型。k=1时为Ⅲ、Ⅳ型。 Hr(ejw)为振幅响应。根据希尔伯特数字滤波器的特性可以知道，希尔伯特数字滤波器的单位冲激响应为奇对称，即k=1，所以其频率响应函数为：

Hd(ejw)?e?j(w??)Hr(ejw) ???w?? (5-2) 在传统的设计中，希尔伯特变换器（即希尔波特滤波器）可以由一个时延模块和一个FIR滤波器来实现（因此希尔伯特FIR滤波器即为希尔伯特滤波器的一种），也可以实现由一组滤波器对，但是在实现FIR型希尔伯特变换器的方法中，对原型低通滤波器作正弦/余弦变换是一种比较简单的方法。对于希尔伯特变换器来说，既可以通过IIR滤波器来实现，也可以通过FIR型滤波器来实现。而且两种滤波器的差别都不是太大，都能带来很好的误差控制。但在实际的应用中，IIR滤波器要求设计两组相位差90°的希尔伯特滤波器，在实际应用中，编程量比较大，同时会产生相关的纹波和相位差，而FIR型滤波器的具有良好的线性相位，同时是非递归实现。只需要找到相关的单位冲击响应，实现的难度较小。因此在具体应用中，要综合考虑处理器的能力来做出选择。在传统的设计中，希尔伯特变换器（即希尔波特滤波器）可以由一个时延模块和一个FIR滤波器来实现（因此希尔伯特FIR滤波器即为希尔伯特滤波器的一种），也可以实现由一组滤波器对，但是在实现FIR型希尔伯特变换器的方法中，对原型低通滤波器作正弦/余弦变换是一种比较简单的方法。本文则是用fir滤波器来实现希尔伯特变换器设计。

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在频域内，对于函数H(f)其可以从??一直延伸到+∞，但是在离散域中，对于数据必须是有限的点数 (例如为2M+1点)。在输入信号进行数字化过程中取出有限值的点数，我们可以看做是给输入信号加了一个窗，近似理想的希尔伯特变换可以用一个有限冲激响应滤波器FIR来实现。因此，对于希尔伯特变

换与FIR滤波器就有着密不可分的关系。对于h(nts)的z变换为

H(z)?n??M?h(nt)zsM?n （5-3）

或

H(z)?n????h(nt)zs???n （5-4）

这两个表示式的计算均是从负值开始求和，因此它们之间的关系是非因果关系，但也可以使其成为因果关系——通过利用时域内的一个简单变换。观察式(5-3)我们可以知道，n值是从-M到M开始进行加窗的，所以采用的时域变换就相当于将其第一个结果乘以z?M,并代入k=n+M,得到了

H(z)?n??M?h(nT)zM?(n?M)??h[(k?M)T]z?k (5-5)

k?02M式中,k值从0开始,故是因果关系。函数h(nts)的z变换可以表示为

H(z)?n????h(nt)zs?n???n =

n????h(nt)zs?1+h(0)+

?h(nt)zs1???n =

h(0)+?[h(nts)zn?h(nts)z?n] (5-6)

n?1??

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式中,设z= exp(j2?fts)得

H(ej2?fts)=Hr( ej2?fts)+ jH(ej2?fts)=

???n????h(nt) e

s?j2?fts= h(0)+?[h(?nts)cos(2?nfts)

n?1+ jh(?nts)sin(2?nfts)

+h(nts)cos(2?nfts)-jh(nts)sin(2?nfts)] (5-7)

对于传输函数H(f)，其在采样频率为fs时被限制为fs2宽带。根 …… 此处隐藏：3629字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……