基于MATLAB的希尔伯特fir滤波器设计(2)

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基于MATLAB的希尔伯特FIR滤波器设计

2 Matlab概述

2.1 MATLAB语言的发展

Matlab语言是由美国的Clever Moler博士于1980年开发的,它是将一个优秀软件的易用性与可靠性、通用性与专业性、一般目的的应用与高深的科学技术应用有机的相结合。由于MATLAB的数学运算功能比较强大，绘图功能比较方便使用及语言的集成度比较高，使其在其他科学与工程领域得到了越来越多的应用与关注，其的应用前景比较广阔、潜力巨大。

子曰：―工欲善其事，必先利其器‖。在教学与研究中会遇到很多问题，一种简单有效的工具的作用是不可估量的，对于MATLAB 语言来说，就是一款简单而又使用的工具。它可以将使用者不用编程那些繁琐、无谓的底层程序，从而使使用者有更多的时间与精力来去解决其他问题，这样不仅可以节约体力与精力，使效率得到很大的提高，从而大大的提高了我们的工作效率。

随着科学的快速发展，MATLAB的应用已经越来越广泛，成为国际上最流行的工程与科学计算的软件工具，对于现在的MATLAB软件，其已经不仅仅只局限于矩阵方面，它已经成为了一种具有应用广泛、前景比较广阔的计算机高级编程语言，有人把它以第四计算机语言来应用与推广，它已经成为研究部门和国内外高校不可离开的软件工具。随着MATLAB 语言拥有着越来越强大的功能，不断完善其功能、对新的要求不断实现一机提出更多的全新的解决方法。因此我们可以想象，对于在科学运算、自动控制与科学绘图领域具有强大功能的Matlab语言来说，其独一无二的地位将会得到保障。

2.2 MATLAB的主要功能

MATLAB是由美国mathworks公司发布的，主要为科学计算、可视化以及交互程学设计，提供了一个高科技的计算环境。它用一个易于使用的视窗环境把科学数据可视化、数值分析、非线性动态系统建模和仿真以及矩阵计算等诸多强大功能集中起来，为全面解决工程设计、必须经行有效数值计算以及科学研究等

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众多科学领域问题提出了一个方案，其不用进行传统非交互程序设计语言（如C、Fortran)的编辑模式的复杂，其在国际科学计算软件领域处于领先水平。

MATLAB具有进行一下各种工作：（1）数值分析；（2）数值和符号计算；（3）工程与科学绘图；（4）控制系统的设计与仿真；（5）数字图像处理技术；（6)数字信号处理技术；（7）通信系统设计与仿真；（8）财务与金融工程。

2.3 matlab的程序结构

matlab语言的程序结构与其它高级语言是一致的，分为顺序结构，循环结构，分支结构。(1) 顺序结构——依次顺序执行程序的各条语句；(2) 循环结构——被重复执行的一组语句，循环是计算机解决问题的主要手段。循环语句主要有：for —end；(3) 分支结构——根据一定条件来执行的各条语句。

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3 希尔伯特变换的基本原理

希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David )来命名。在信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换(Hilbert transform)，是将信号s(t)与1/(πt)做卷积，以得到s(t)。因此，希尔伯特变换结果s(t)可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/(πt)。用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络。

解析信号通过希尔伯特变换后，能够有效提取信号的瞬时特征参数，其中对于信号的瞬时相位、瞬时频率和瞬时幅度也得到了有效提取。在上世纪80年代，A.k.Nandi和E.E.Az-zouz共同提出了信号瞬时特征参数的调制识别算法，能够对信号进行较准确的调制方式识别，就是把五个信号的特征参数 ( ?max,

?ap, ?dp,?aa,?fa)神经网络结合起来。在数据采集之后，希尔伯特变换是第一

个相对比较复杂的信号变换，其主要分为时域变换与频域变换。通过数字滤波器，也可以以数据流的方式对数据进行处理，来实现时域变换的希尔伯特变换；对一个数据块进行离散傅立叶变换，在频域处理后再进行傅立叶反变换后恢复成时域解析信号，来实现频域的希尔伯特变换。对于具有稳定性好以及良好的线性相位响应曲线的FIR滤波器，可以使数据的希尔伯特变换得到很好地实现。但是，对于通带纹波越低，对于FIR滤波器来说，其抽头数也就越多，这样会直接导致运算量的增加。在对希尔伯特变换系数进行设计的时候，通过滤波系数的分析，可以通过引用折叠式的FIR滤波器结构或者改进算法，从而降低大抽头数的FIR希尔伯特变换器所需要的乘法次数和加法次数。我们也可以在滤波性能不被影响的前提下，在最大限度内来提高了信号处理的速度，同时也要尽量满足信号在实时处理时的要求。

对信号x(t)进行希尔伯特变换，可以看做信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作正900的相移，而正频率成分作负900的相移。这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz和fs2处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。如果滤

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波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。

3.1希尔伯特变换的定义

3.1.1 卷积积分

设实值函数f(t),其中t?(??,??)，它的希尔伯特变换可以表示为

?f(t)??f(?)d?， (3-1)

???(t??)??常记为

f(t)?H[f(t)] (3-2)

由于f(t)是函数f(t)与

?

?1的卷积积分，因而可写成 t??

1f(t)=f(t)* (3-3)

t?3.1.2 ?2相位

设F(f)?F[f(t)]，根据(3-3)式和傅里叶变换性质可知，F(f)是f(t)的傅里叶变换F(f)和1t?的傅里叶变换的乘积。由

????

??j,f?0, (3-4)

F[1?t]??jsgn(f)???j,f?0.得

F(f)??[jsgn(f)]F(f).

?因此?jsgn(f)可表达为

??j??e2,f?0B(f)??jsgn(f)???

?j??e2,f?0.或者

B(f)?e 所以B(f)是可以作为一个

?j?2sgn(f)

?相移系统，所以希尔伯特变换就可以表示为对2

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??的相移，对负频率产生相移，说，也

2221可以说，在时域信号内，每一频率成分作波长移位。因此，希尔伯特变换器

信号的?的相移，对正频率产生??4又总是被称为90度移相器。

3.1.3 解析信号的虚部

为了对希尔伯特变换的意义进行进一步理解，在此引入解析函数Z(t):

Z(t)?f(t)?jf(?t) 也可以写成

Z(t)?A(t)e?j?(t) 其中，A(t)为希尔伯特变换的包络；?(t)为瞬时响应信号。 把希尔伯特变换的包络A(t)定义为

A(t)?f2?(t)?f2(t) 相位定义为

???(t)?arctan?f(t)??? ?f(t)? ?瞬时频率定义为

f1d?(f)0?2?dt 根据傅里叶变换式

Z(t)?F?1[Z(f)] ?f(t)?jf?(t)

??f(t)?Re[Z(t)]??f(t)?Im[Z(t)] 为计算Z(f)，由F?(f)??[jsgn(f)]F(f).知

Z(f)?[1?sgn(f)]F(f)