基于SystemView的差错控制技术研究(7)

图4.5 (7，4)汉明码译码器的仿真子系统原理图

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4.2 循环码

4.2.1 循环码的概念

在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。它是在严密的代数学理论基础上建立起来的。循环码的编码和解码设备都不太复杂，并且检错（纠错）的能力较强，这些特点有助于按照所要求的纠错能力系统地构造这类码，并简化解码方法。目前，循环码在理论上和实践上都有了较大的发展。

循环码除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性，也就是循环码中任何一个码组向左或者向右循环移位仍然是这个码组集合里的码组。即如果?an?1an?2...a0?是一个循环码组，则?an?2an?3...a0an?1?、?an?3an?4...an?1an?2???a0an?1...a2a1?也是该编码中的码组。在代数编码理论中，把这种码组中各码元看作是一个多项式的系数，即一个长为n的码组可以表示成：

T?x??an?1xn?1?an?2xn?2?...?a1x?a0 (4.3)

这种多项式中，x仅是码元位置的标记。因此我们并不关心x的取值。这种多项式有时称为码多项式。

在整数运算中，有模n运算。在模n运算下，一整数m等于其被n除得之余数。在码多项式运算中也有类似的按模运算。若一任意多项式F?x?被一n次多项式N?x?除，得到商式Q?x?和一个次数小于n的余式R?x?，即F?x??N?x?Q?x??R?x?则写为

F?x??R?x? (模N?x?) (4.4)

这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1。不过注意，在模2运算中，用加法代替了减法。

在循环码中，若T?x?是一个长为n的许用码组，则xiT?x?在按模xi?1运算下，亦是一个许用码组。

4.2.2 循环码的生成矩阵

有了生成矩阵G，就可以由 k个信息位得出整个码组，而且生成矩阵G的每一行都是一个码组。由于G是k行n列矩阵，因此，若能找到k个已知码组，就能构成矩阵G。如前所述，这k个已知码组必须是线性不相关的，否则，给定的信息位与编出的码组就不是一一对应的。

在循环码中，一个(n，k)码有2k个不同码组。若用g?x?表示其中前(k?1)位皆为\

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的码组，则g?x?，xg?x?，x2g?x?，?，xk?1g?x?都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。

在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只能有?k?1?位。因此g?x?必须是一个常数项不为“0”的?n?k?次多项式，而且，这个g?x?还是这种(n，k)码中次数为?n?k?的唯一的一个多项式。我们称这唯一的

?n?k?次多项式g?x?为码的生成多项式。一旦确定了g?x?，则整个(n，k)循环码就被确定了。所有码多项式T?x?都可被g?x?整除，而且任一次数不大于?k?1?的多项式乘g?x?都是码多项式。循环码的生成多项式应该是?xn?1?的一个(n?k)次因式。选用的

生成多项式不同，产生出的循环码码组也不同。[9] 4.2.3 循环码的编码方法

循环码的编码步骤:

1.m?x?为信息码多项式，其次数小于k。用xn?k乘m?x?，这一运算实际上是把信息码后附加上?n?k?个“0”。

2.用g?x?除xn?km?x?，得到商Q?x?和余式r?x?。 3.编出的码组T?x?为

T?x??xn?km?x??r?x? (4.5)

上述三步运算，在用硬件实现时，可以由除法电路来实现。除法电路的主体由一些移存器和模2加法器组成。用这种方法编出的码组，前面是原来的k个信息位，后面是?n?k?个监督位。

4.2.4 循环码的解码方法 循环码的解码:

接收端解码的要求有两个：检错和纠错。

达到检错目的的解码原理十分简单。当传输中未发生错误时，接收码组与发送码组相同，即R?x??T?x?，故接收码组R?x?必定能被g?x?整除；若码组在传输中发生错误，则R?x?被g?x?除时可能除不尽而有余项。因此，我们就以余项是否为零来判别码组中有无错码。根据这一原理构成的解码器的核心就是一个除法电路和缓冲移存器，而且这里的除法电路与发送端编码器中的除法电路相同。需要指出，有错码的接收码组也有可能被g?x?整除，这时的错码就不能检出了。这种错误称为不可检错误。不可检错误中

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的错码数必定超过了这种编码的检错能力。

在接收端为了能够纠错，要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定余式有一一对应关系，这里，错误图样是指错码矩阵E的各种具体取值的图样，余式是指接收码组R?x?被生成多项式g?x?除所得的余式。

纠错可按下述步骤进行:

1.用生成多项式g?x?除接收码组R?x??T?x??E?x?,得出余式r?x?； 2.按余式r?x?用查表的方法或通过某种运算得到错误图样E?x?； 3.从R?x?中减去E?x?,便得到已纠正错误的原发送码组T?x?。

纠错解码器由一4级反馈移位寄存器组成的除法电路和一缓冲移位寄存器组成.

给定一(n,k)循环码组集合，使前i?0?i?k?个高阶信息数字全为零，于是得到有2k?i个码组的集合，然后从这些码组中删去这i个零信息位数字，最终得到一种新的(n?i，

k?i)的线性码，我们称这种码为缩短循环码。缩短循环码与产生该码的原循环码至少具有相同的纠错能力，缩短循环码的编码和译码可用原循环码使用的电路完成。

4.3 BCH编码

BCH码是循环码的一个重要的类型，它具有纠正多个错误的能力，BCH码具有严密的代数结构，是目前研究得最为透彻的一种码型。它的多个生成多项式g(x)与最小码距之间具有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力方便地构造BCH码。它的译码电路也同一实现，是线性分组码中最为普遍的一种编码方式。 4.3.1 本原循环码

本原循环码是一种重要的码，汉明码和BCH码都是本原码。本原码具有以下特点： （1）码长为2xm?1，其中m为正数。

（2）它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。 要判断（2xm?1，k）循环码是否存在，只需判断（2xm?1?1?k）阶生成多项式是否能由x2m?1?1的因式构成。代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能整除（x2m?1?1）。

4.3.2 BCH码的编译码

如果循环码的生成多项式满足

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g(x)?LCM?m1(x),m3(x),...m2t?1(x)?

(4.6)

这里t是纠错个数，mi(x)是最小多项式，LCM表示最小公倍数，则称这种循环码为BCH码。其中最小码距为dmin?2t?1，能够纠正t个错误。BCH码的码长为n?2m?1，或者是2m?1的因子。码长为2m?1的BCH码成为本原BCH码，也成为狭义BCH码。码长为2m?1的因子的BCH码非本原BCH码。

对于纠正t个错误的本原BCH码，其生成多项式为

g(x)?m1(x),m3(x),...m2t?1(x)

它的最小码距为dmin?2t?1。纠正单个错误的BCH码就是循环汉明码。

(4.7)

由于BCH码是循环码的一个特殊类型，其编码完全可以按循环码的编码方式进行，只要选好正确的码长和生成多项式即可。

BCH码的译码方法分频域译码和时域译码两大类。作为的频域译码就是在接收端将每个接收到的码组看成一个数字信号，先对其进行快速傅里叶变换，将其变换到频域，然后数字信号处理器对其进行频域译码，最后再经过快速傅里叶反变换得到最后的译码结果。时域译码是直接在时域利用逻辑电路完成对BCH码的译码。

时域译码的方式有很多种 …… 此处隐藏：2083字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……