中考总复习：开放探索题新编（答案已编好）

一、专题论述：

近几年在各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和新课标要求的开放探索题。开放探索题打破传统模式，构思新颖，被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题。而且，开放探索题与其它题型呈现融合的形势。加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。

在2011年安徽中考题中，第9，10，14，22，23题都带有开放探索性质，分值39分，约占24%.

在2012年安徽中考题中，第9，10，14，17，23题是开放探索题，分值35分，约占23%.

在2013年安徽中考题中，第9，10，14，18，23题都是开放探索题，分值35分，约占23%.

开放探究题的特点是：（1）条件多余或不足；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.

开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、条件与结论开放与探索问题。

在解决开放探题的时候，需要解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.

二、典例分析：

考点一 条件开放探索问题

条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，并给出结论。要求根据结论补充所需的条件，而满足结论的条件往往是不唯一的．

典例1 （2012湖南郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．

【解题指导】本题考查相似三角形的判定。

∵∠A是公共角，

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似）； 当AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹

角对应相等的两个三角形相似）。

∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B

或AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC等。 【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）。

【变题速递】1.如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．

2. （2012湖南湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．

3. （2012四川绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个）。

考点二 结论开放问题

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，然后经过论证作出取舍．

【典例2】 (2011广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果) (2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．

(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)

图1

图2

33

x，则面积为x2，则等边△BDP边24

【解题指导】：(1)设等边△APC边长为x，高为长为2a－x，高为

33

(2a－x)，则面积为(2a－x)2， 24

面积之和为S＝

3233

x＋(2a－x)2＝x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题． 442

32

a. 2

当x＝a时，S最小＝

(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC． (3)根据(2)证明过程或直观可得结论．

将等边三角形的面积用二次函数表示出来是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常

需要借助直观或特殊化方法探求．

【规范解题】：(1)a

(2)α的大小不会随点P的移动而变化． 理由：∵△APC是等边三角形， ∴PA＝PC，∠APC＝60°. ∵△BDP是等边三角形，

∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD， ∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB， ∴∠PAD＝∠PCB．

∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠AQC＝180°－120°＝60°.

(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°. 【变题速递】

4.（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ．

5. （2012山东淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 .

6.（2012吉林省）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为_ ____（写出一个符合条件的度数即可）．

考点三 条件与结论开放问题

条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，

将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．

【典例3】 (1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.

(下面请你完成余下的证明过程)

图1

图2

(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．

(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD?X”，请你作出猜想：当∠AMN＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)

【解题指导】证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全

等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．

【规范解题】(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.