[研究院][全国](7)2018高考真题（理）分类汇编 - 直线与圆、圆锥(2)

18.（2018全国II·理）（本小题满分12分）

设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

18.【解析】（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)．设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2k2?422222??16k?16?0，由?2得kx?(2k?4)x?k?0．故x1?x2?． 2ky?4x?4k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．

k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1．因此l的方程为y?x?1． 2k（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5．设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y?2y??6.?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144．

2222

19.（2018全国III·理）（本小题满分12分）

x2y2?1交于A，B两点，线段AB的中点为已知斜率为k的直线l与椭圆C：?43M?1，m??m?0?．

（1）证明：k??1； 2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

x12y12x22y22??1,??1. 19.【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则4343两式相减，并由

x?xy?y2y1?y2?k?0. ?k得12?143x1?x2由题设知

x1?x2y?y2331?1,1?m，于是k??.①，由题设得0?m?，故k??. 224m22（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0). 由（1）及题设得x3?3?(x1?x2)?1,y3??(y1?y2)??2m?0. 又点P在C上，所以m?333，从而P(1,?)，|FP|?. 4222x12xx)?2?1.同理|FB|?2?2. 于是|FA|?(x1?1)?y?(x1?1)?3(1?422221所以|FA|?|FB|?4?1(x1?x2)?3. 2故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.设该数列的公差为d， 则2|d|?||FB|?|FA||?11|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2.② 22将m?3代入①得k??1. 47127x?14x??0. ，代入C的方程，并整理得

44所以l的方程为y??x?

故x1?x2?2,x1x2?

1321321321，代入②解得|d|?.所以该数列的公差为或?. 2828282820.（2018天津·理）（本小题满分14分）

x2x25设椭圆2?2?1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的

ab3坐标为(b,0)，且FB?AB?62. （1）求椭圆的方程；

（2）设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若

AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值. 4c2520.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由

a9已知可得，FB?a，AB?2b，由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2．

x2y2?1． 所以，椭圆的方程为?94（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故

PQsin?AOQ?y1?y2．又因为AQ?AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 4y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．由sin?OAB4?y?kx，6k?由方程组?x2y2消去x，可得y1?．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方2??1，9k?4?4?9?y?kx，2k程组?消去x，可得y2?．由5y1=9y2，可得5（k+1）=39k2?4，两边平

k?1?x?y?2?0，方，整理得56k2?50k?11?0，解得k?

111111 ，或k?．所以，k的值为或．228228

21.（2018江苏）（本小题满分16分）

1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，

2焦点F1(?3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为26，求直线l的方程． 721.【解析】（1）因为椭圆C的焦点为F1(? 3,0),F2(3,0)，

1x2y2可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．又点(3,)在椭圆C上，

2ab1?3?a2?4,x2?2?2?1,?所以?a，解得?2因此，椭圆C的方程为?y2?1． 4b4??a2?b2?3,?b?1,?因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2?y2?3．

（2）①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0?0,y0?0)，则x02?y02?3，

?x2?y2?1,?xx3?4所以直线l的方程为y??0(x?x0)?y0，即y??0x?．由?消去y，

x3y0y0y00?y??x?,?y0y0?得(4x02?y02)x2?24x0x?36?4y02?0．（*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

(?24x0)2?4(4x02?y02)(36?4y02)?48y02(x02?2)?0． 所以?? 因为x0,y0?0，所以x0?2,y0?1．因此，点P的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB的面积为1264226AB?OP?，所以 ，从而AB?． 2777设A(x1,y1),B(x2,y2)，由（*）得x1,2?24x0?48y02(x02?2)2(4x02?y02)，

x0248y02(x02?2)所以AB?(x1?x2)?(y1?y2)?(1?2)?．

y0(4x02?y02)2222

16(x02?2)32因为x0?y0?3，所以AB?，即2x04?45x02?100?0， ?22(x0?1)4922210251,)． 解得x02?(x02?20舍去），则y02?，因此P的坐标为(2222综上，直线l的方程为y??5x?32．

22.（2018浙江）（本小题15分）

如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满 PA，PB的中点均在C上．

yAPOMxB

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2（2）若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

42

22.【解析】（1）设P(x0,y0)，A(1212y1,y1)，B(y2,y2)． 4412y?x0因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程y?y02，

()?4?422即y?2y0y?8x0?y0?0的两个不同的实数根．

22