倒立摆研究报告(DOC)(3)

??C???CA?Q0?????n?1??CA?

的秩为n。

该系统的能观性矩阵为：

? 1 0 0 0 0 0??? 0 1 0 0 0 0??? 0 0 1 0 0 0??? 0 0 0 1 0 0??? 0 0 0 0 1 0???? 0 0 0 0 0 1?? 0 0 0 0 0 0???? 0 0.0134 0.0021 0 0 0?? 0 0.0056 0.0035 0 0 0??QO??? 0 0 0 0 0 0??? 0 0 0 0 0.0134 0.0021??? 0 0 0 0 0.0056 0.0035??? 0 0 0 0 0 0??? 0 0.0002 0 0 0 0??? 0 0.0001 0 0 0 0??? 0 0 0 0 0 0??? ? 0 0 0 0 0.0002 0.0000??? 0 0 0 0 0.0001 0.0000??矩阵的秩为：rank(SO)=6 本文研究的系统既能控又能观。

2.2.3、李式意义下的稳定性：设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心，半径为?的闭球

(?)内，即初始状态满足x0?xe域s?? ，如果系统稳定，则状态方程的解x(t,x0,t0)在t??的过程中，都位于以xe为球心，任意小的??0为半径的闭球域内，则称该平衡状态

xe是李式意义下稳定的。

?定理3（间接法）：对于线性定常系统

?=??

系统稳定的充要条件是：矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。

用函数eig(A)来计算系统矩阵的特征值，系统的特征值为1.7848、0.0157、0.0059 由此可知该系统不稳定。因此需要加入控制器调节系统是系统稳定。

三、 基于MATLAB的LQR仿真

3.1、最优控制（LQR）简介

最优控制理是现代控制理论的核心。其研究的主要问题是，根据已经建立的被控对象的数学模型，在一定的限制条件下，选择一个容许的控制规律完成所要求的控制任务，使系统规定的评价函数具有最优值的一种控制。这里的限制条件即约束条件是物理上对系统所施加的一些限制；评价函数即性能指标，是为评价系统的优劣所规定的标准，也称为目标函数；要寻找的控制规律也就是综合控制器。一般来讲，达到一个目标的控制方法很多，但实际上的经济、时间、环境、制造等方面油各种限制，因此可实现的控制方法是有限的。在实行具体的控制时，有必要选择某一种控制方式，是性能指标达到最优值，这就是最优控制。

3.2、线性二次型最有调节器原理

x u 被控对象

最优控制系统结构图

X=ΑΧ+ΒU ?最优控制率 u??R?1BTKx

在系统方程

?X=ΑΧ+ΒU Y=CΧ中，如果满足C?I，理想输出 yd?0，则有

e(t)??x(t)

11J?xT(tf)Px(tf)?22tft0??xT(t)Q(t)x(t)?uT(t)R(t)u(t)?dt

??这时，线性二次型最优控制问题描述为：当系统受偏离平衡状态时，要求寻找最优控制量，

使得系统的状态恢复到平衡状态附近，并使性能指标极小，这就是LQR问题。 由于倒立摆系统是tf??时线性定常系统的状态调节问题，所以指标函数可以等价为

?J?TT(XQX?URU)dt ?0