倒立摆研究报告(DOC)(2)

m0 m1 m2 m3 小车质量:1.32kg 摆杆1质量:0.06kg 摆杆2质量:0.13kg 质量块质量:0.27kg 摆杆1和垂直方向夹角 l1 l2 F 摆杆1转动中心到质心的距离:100mm 摆杆2转动中心到质心的距离:250mm 作用在小车上的加速度 ?1 ?2 摆杆2和垂直方向夹角 利用拉格朗日方程推倒运动学方程： L?T?V

其中L为拉格朗日算子，T为系统动能，V为系统的势能

?21小车的动能：T0?m0x

211?22杆1的动能：T1?m1v1?J1?1

2211?22杆2的动能：T2?m2v2?J2?2

22连接块的动能：T3?12m3v3 2系统的总动能：：T?T0?T1?T2?T3

系统的势能：V?m1gl1cos?1?2m3gl1cos?1?(2gl1cos?1?l2gcos?2)m2 其中：v1?x1?y1、v2?x2?y2、v3?x3?y3

?2?2?2?2?2?22 J1?1/3m1l12、J2?1/3m2l2x1?x?l1sin?1、y1?l1cos?1

x2?x?2l1sin?1?l2sin?2、y2?2l1cos?1?l2cos?2 x3?x?2l1sin?1、y3?2l1cos?1

F=u?x

d(根据拉格朗日定理已知：

?L??x??L?u

dx?x)d(?L?)??1?L??0 dx??1d(?L?)??2?L??0 dx??2得出：

(m0?m1?m2?m3)x?(m1l1?2m2l1?2m3l1)?1?m2l2?2?u(m1l1?2m2l1?2m3l1)x?(4/3m1l12?4m2l12?4m3l12)?1?2m2l1l2?2?(m1l1?2m2l1?2m3l1)g?1m2l2x?2m2l1l2?1?4/3m2l22?2?m2l2g?2在角度很小的情况下进行线性化：

sin???cos??1

直线二级倒立摆系统表示为状态空间方程形式为

????x?00????0??1??000????00??2??0 ??????00?x??0?????00.01340.0021?????00.00560.00351?????????2?100100000000?x?0????0????1???0?0???2??1?????0???????u 0??x??1??0???1??0.086??????0.0325???0???????2???x?????1??y1??100000???2???????? ?y2???010000??x??y??001000????3????????1??????2?

2.2、直线二级倒立摆的定性分析

在建立系统的数学模型后，需要对系统的特性进行进一步的分析，主要的是系统的稳定性、能控性、能观性。

2.2.1、能控性：考虑连续定常系统

?X=ΑΧ+ΒU （1.1）

若存在无约束的分段连续控制函数ut，在有限时间间隔t???t0,tf??内，能使系统从任意状态x(t0)转移至x(tf)?0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 定理1（能控性判据）：对系统式（1.1），其状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵

??S???b Ab 的秩为n。等价于S的行列式的值不等于零。

An?1b??

? 0 1.0000 0 0 0 0??? 0 0.0860 0 0.0012 0 0??? 0 0.0325 0 0.0006 0 0?该系统的能控性矩阵为：S???

? 1.0000 0 0 0 0 0?? 0.0860 0 0.0012 0 0 0??? 0.0325 0 0.0006 0 0 0????矩阵的秩为：rank(Sc)=6

2.2.2、能观性：对于系统式（1.1），若已知输入

u?t?t??t0,tf???内测量及有限时间间隔

到的输出y(t)，能唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是完全能观测的，简称系统能观测。 定理2（能观性判据）：对于多输入多输出连续定常系统

X=ΑΧ+ΒUY=CΧ+DU

其状态完全能观测的充分必要条件是能观测性矩阵