倒立摆研究报告(DOC)

基于LQR控制的二级倒立摆系统研究

作 者： 牛 娟 031210308

王晨琳 031210307 王鹤彬 031210312 学 院： 自动化 指导老师：王晶、陆宁云

摘要

倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。本文采用最优控制的方法设计二级倒立摆系统的控制器。首先简要介绍了倒立摆以及倒立摆的几种常见控制方法，着重介绍了最优控制理论，其次对二级倒立摆系统进行了数学建模，最后对线性二次型最优控制原理进行了分析并使用MATLAB进行了仿真。

关键词：二级倒立摆，最优控制

目录

一、 1.1、 1.2、 1.3、 二、

绪论 ............................................................................................................................ 3 倒立摆系统简介 .................................................................................................... 3 倒立摆系统的控制算法 ........................................................................................ 3 小结 ........................................................................................................................ 4 直线倒立摆的建模 .................................................................................................... 4

2.1、直线二级倒立摆的建模 .............................................................................................. 4 2.2、直线二级倒立摆的定性分析 ...................................................................................... 6 三、

基于MATLAB的LQR仿真 ....................................................................................... 9

3.1、最优控制（LQR）简介 ............................................................................................... 9 3.2、线性二次型最有调节器原理 ...................................................................................... 9 3.3、MATLAB仿真 ............................................................................................................. 10 3.4、SIMULINK仿真 ........................................................................................................... 11 四、

结束语 ...................................................................................................................... 13

4.1、小结 ............................................................................................................................ 13 4.2、未解决问题展望 ........................................................................................................ 13 五、

附录 .......................................................................................................................... 13

一、 绪论

1.1、 倒立摆系统简介

倒立摆系统是一种高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，是进行控制理论研究的典型实验平台。许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。在控制理论发展的过程中，某种控制理论的正确性及可行性需要通过设计一个控制器去控制一个典型的控制对象去加以验证。倒立摆系统正是这样一种比较典型的控制对象。

最简单的倒立摆可由一个可在水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链组成。倒立摆的种类繁多，分类方法也多种多样：按结构来分有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆；按级数来分有一级摆，二级摆，三级摆乃至更高级摆；按运动轨道来分有水平轨道倒立摆，倾斜轨道倒立摆；按控制电机数目来分有单电机倒立摆，多电机倒立摆。

本文所研究的是直线二级倒立摆系统。正因为倒立摆是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的不稳定的系统，必须采取有效的控制方法才能使其稳定在平衡位置附近。倒立摆的控制过程能有效地反映许多控制中的关键问题，如系统的非线性问题，鲁棒性问题，跟踪问题等等。因此，对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论意义。倒立摆的研究也具有深厚的工程背景。任何重心在上，支点在下的控制问题都可近似化为一种倒立摆模型。例如，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制，飞机着陆时的稳定控制，机器人行走过程中的平衡控制，各类伺服云台的稳定控制等等。因此对倒立摆的研究也具有重要的应用价值。

1.2、 倒立摆系统的控制算法

从上世纪五十年代起，国外科学家开始了对倒立摆系统的研究。1966 年Schaefer 和 cannon 就应用 Bang—Bang 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。此后，各国科学家提出了各种不同的控制方法实现对倒立摆的控制。早期的倒立摆控制大多采用状态反馈，随着智能控制理论的发展，人们逐渐将模糊控制算法、神经网络理论等智能控制理论用于控制倒立摆。目前，倒立摆常见的控制方法有如下几种：

(1) 经典控制理论的方法一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系

统，提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。根据对系统的力学分析，用牛顿第二定律，建立倒立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，获得传递函数，从而得到零、极点分布情况，使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此，引入适当的反馈，使得闭环系统特征方程的根都位于左平面上。由于经典控制理论本身的局限性，只能用来控制一级倒立摆，于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。

(2) 现代理论控制方法用现代控制理论方法的前提是倒立摆在平衡点附近，偏移小，系统可

以近似用线性模型来描述。将倒立摆系统的非线性化的模型在系统平衡点附近进行近似线性化处理得到线性化的模型，然后再利用线性系统控制器设计方法得到控制器。用这类控制方法对于一、二级倒立摆进行稳定控制，可以得到较好的效果，但对于三级及三级以上的倒立摆系统，有很大局限性。现代控制的典型方法有：状态反馈控制、LQR控制算法等。

(3) 神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性的系统

的动态特性，所有定量与定性的信息都等势分布贮存在网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。但神经网络控制方法的局限性在于缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则。神经网络的权系数常采用反向传播算法来学习，BP算法是沿着梯度下降来指导搜索，易于陷入局部极小值点，且求解精度不高。

(4) 模糊控制理论是智能控制中常用的一种算法，其产生于二十世纪六十年代，是美国加利

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