[校级联考]安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题-d(6)

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【详解】

（Ⅰ）?? ?? 的定义域是 0,+∞ ，令??′ ?? =ln??+1=0???=，

??1

所以?? ?? 在 0,?? 上单调递减，在 ??,+∞ 上单调递增， 在??=??处取唯一的极小值，也是最小值?? ?? =??? （Ⅱ）?? ?? ≥?????2 ??+1 ???≤

??ln??+2

（注意?????2

2

1

1

1

11

>2），记?? ?? =

??ln??+2′

?? ，则?????2

=

???2ln???4

???2 2

考查函数?? ?? =???2ln???4，??′ ?? =1???>0 ??>2 ，?? ?? 在定义域上单调递增. 显然有?? 8 =4?2ln8<0，?? 10 =6?2ln10>0，所以存在唯一的??0∈ 8,10 使得

?? ??0 =??0?2ln??0+4=0.

在 2,??0 上?? ?? <0，??′ ?? <0，?? ?? 单调递减；在 ??0,+∞ 上?? ?? >0，??′ ?? >0，?? ?? 单调递增.

所以?? ?? 在??0取唯一的极小值也是最小值?? ??0 =

??0ln??0+2

，注意此时?? ??0 ??0?2

=0?ln??0=

??0?42

，

答案第12页，总14页

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??0?42所以?? ??0 =【点睛】

??0×

+2

??0?2

=2 ??0?2 ∈ 3,4 ，所以整数??的最大值可以取3

1

本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 22．（Ⅰ）?? ?? 在 ?∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增；（Ⅱ）??. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）求函数导数,利用导数可研究函数的单调性;

（Ⅱ）由条件可得?? ?? =?????????+??≥??+??在??上恒成立, 求导得??′ ?? =???????,分别讨论

??<0,??=0和??>0三种情况,研究?? ?? 的最小值的取值情况,从而即可得解.

【详解】

（Ⅰ）??=1时，?? ?? =??????????，定义域是全体实数，求导得??′ ?? =?????1， 令??′ ?? =0???=0，所以?? ?? 在 ?∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增

（Ⅱ）令?? ?? ??? ?? =????????????≥0在??上恒成立，则?? ?? =?????????+??≥??+??在??上恒成立

求导得??′ ?? =???????.

若??<0，显然?? ?? 可以任意小，不符合题意. 若??=0，则??最大也只能取0.

当??>0时，令??′ ?? =???????=0???=ln??，

于是?? ?? 在 ?∞,ln?? 上单调递减，在 ln??,+∞ 单调递增，在??=ln??取唯一的极小值也是最小值

?? ln?? =??ln?????ln??+??=2?????ln??，

令?? ?? =2?????ln?? ??>0 ，则??′ ?? =1?ln??， 令??′ ?? =0???=??.

所以?? ?? =2?????ln?? ??>0 在 0,?? 上单调递增，在 ??,+∞ 单调递减，

在??=??取唯一极大值也是最大值?? ?? =??，此时??=??，??=0，所以??+??的最大值等于??. 备注一：结合图象，指数函数在直线的上方，斜率??≥0显然，再讨论??>0的情况. 备注二：考虑到?? ?? ??? ?? =????????????≥0在??上恒成立，令??=1即得??+??≤??.取??=??，

??=0

答案第13页，总14页

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证明????≥????在??上恒成立也给满分. 【点睛】

导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若?? ?? >0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

?? ?? min>0，若?? ?? <0恒成立??? ?? max<0；

（3）若?? ?? >?? ?? 恒成立，可转化为?? ?? min>?? ?? max（需在同一处取得最值）.

答案第14页，总14页