第三章 离散化结构动力方程解法(5)

?u?t??t??0??u?t??t-?u?t?-?2?u?t-?3?u?t

?u?t??t??u?t??6?u?t??7?u?t??t我们注意到Wilson-?法与Newmark法的计算关系式，在形式上是相同的，只是其中的系数取不同的值而已。因此，它们可用同一计算机程序来实现。

§3.7 Houbolt方法

这个差分格式是利用t+Δt、t、t-Δt、t-2Δt四个时刻上位移的三次插值多项式建立起来的。即假定

{u}t??t?1(2{u}t??t-5{u}t?4{u}t-?t-{u}t-2?t) 2?t （3.40）

和

{u}t??t?1(11{u}t??t-18{u}t?9{u}t-?t-2{u}t-2?t) 6?t （3.41）

这里认为{u}t-2?t，{u}t-?t和{u}t是已知的，而{u}t??t是未知的。考虑t+Δt时刻的动力方程，有

[M]{u}t??t?[C]{u}t??t?[K]{u}t??t?{F}t??t

（3.42）

将式（3.40）和（3.41）代入式（3.42）中，就得到求解{u}t+Δt时刻的方程为

11?2?[M]?[C]?[K])??t2?{u}t??t6?t??33?5??4??{F}t??t??2[M]?[C]?{u}t-?2[M]?[C]?{u}t-?t （3.43）

?t2?t??t???t?1?1???2[M]?[C]?{u}t-2?t3?t??t? 16

由上式解得{u}t??t后，代入式（3.40）和式（3.41）中，便求得了{u}t??t和{u}t??t。这样，逐步求下去，便可求得任意时刻的动力响应值。

应该注意到，这个差分格式不是自起步的，除了利用初始条件{u}0，{u}0和{u}0之外，尚需利用前述的任一种自起步的方法，求得{u}?t、{u}?t和{u}?t后，再利用式（3.40）和式（3.41），即

{u}?t?1(2{u}?t-5{u}0?4{u}-?t-{u}-2?t) 2?t1{u}?t?(11{u}?t-18{u}0?9{u}-?t-2{u}-2?t)

6?t由上二式，可求 {u}-?t、{u}-2?t。这样，利用{u}-?t，{u}0和{u}?t，就可由Δt开始，用式（3.43）就{u}2?t，再代入式（3.40）和式（3.41），即可求得{u}2?t和{u}2?t，如此逐步求下去，即可求得任意时刻的动力响应。

Houbolt方法逐步求解的过程如下：

A. 初始计算

形成刚度矩阵[K]，质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]。 给定初始值{u}0、{u}0和{u}0。 选择时间步长Δt和积分常数：

a0=a321153;a=;a=;a=;a=-; a=-2a;12354022Δt6ΔtΔtΔt2a6?a0a; a7?3 29（4）使用一种自起步的方法计算出?u??t，

????。

u.和

u..?t?t~~???（5）计算出有效刚度矩阵?K?:?K???K??a0?M??a1?C? ?????~~T???（6）对?K?作三角分解：?K? ?LDL??????????? 17

B：对每一个时间步计算 （1）计算t??t时刻的有效载荷

?~??F???F?t??t??M?a2?u?t?a4?u?t-?t?a6?u?t-2?t??C?a3?u?t?a5?u?t-?t?a7?u?t-2?t??t??t????（2）求解计算t??t时刻的位移

?L??D??L??u?t??tT?~???F? ??t??t（3）如有需要，计算t??t时刻的加速度和速度

?..??a0?u?t??t-a2?u?t-a4?u?t-?t-a6?u?t-2?t ?u???t??t?.??a1?u?t??t-a3?u?t-a5?u?t-?t-a7?u?t-2?t ?u???t??t此方法对线性动力问题是无条件稳定的，所以，在选取?t时，仅需要考虑精度要求。 此外，如果?M???0?,?C???0?，这种求解方法可提供与时间有关载荷的静力解法。

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