第三章 离散化结构动力方程解法(4)

和

{u}t??{u}t???2?{u}t?{u}t??({u}t???t?{u}t)

2??t（3.22）

1?32?{u}t?{u}t??{u}t???({u}t???t?{u}t)（3.23）

26??t令????t，由上二式，有 和

{u}t???t?{u}t???t{u}t?{u}t???t?{u}t???t2({u}t???t?{u}t) （3.24）

?2?t26({u}t???t?2{u}t) （3.25）

从这二式，可将(t???t)时刻的加速度和速度用位移来表示即 和

{u}t???t66?22({u}t???t?{u}t)?{u}t?2{u}t （3.26） ??t??t{u}t???t?3??t({u}t???t?{u}t)?2{u}t?{u}t ??t2(3.27)

于是，在t??t时刻的动力方程为

[M]{u}t???t?[C]{u}t???t?[K]{u}t???t?{F}t???t

(3.28)

式中，

{F}t???t?{F}t??({F}t??t?{F}t)

将(3.26)和式(3.27)代入式(3.28)，就得到关于{u}t??t的方程为

([K]?63[M]?[C]){u}t???t?{F}t??({F]t??t?[F]t)22??t??t66(3.29) ?[M](22{u}t?{u}t?2{u}t)??t??t3??t?[C]({u}t?2{u}t?{u}t)??t2 11

记[K]?[K]?63[M]?[C] ?2?t2??t{F}t???t?{F}t??({F}t???t?{F}t)?[M](6??t?2{u}t)?[C]({u}t?2{u}t?{u}t)??t266{u}?{u}tt22??t??t

于是，式(3.29)可写为

[K]{u}t???t?{F}t???t

(3.30)

求解方程(3.30)，则得到{u}t???t

将求解得到的{u}t???t，代入(3.26)中，就得到{u}t???t。如在(3.21)

??t，并将式(3.26)代入，有

中，取?

{u}t??t?663({u}?{u})?{u}?(1?){u}t t???ttt?3?t2?2?t??t(3.31)

将(3.21)代入式(3.22)和(3.23)，并取?

，有

(3.32) (3.33)

{u}t??t?{u}t?{u}t??t?t({u}t??t?{u}t) 2

?t2?{u}t??t{u}t?({u}t??t?2{u}t)

6用Wilson??法逐步求解的过程如下： A． 初始计算

（1） 形成刚度矩阵[K]，质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]。 （2） 给出初始值{u}0，{u}0和{u}0。

（3） 选择时间步长?t，取??1.4，并计算积分常数，

a0?6(??t)23??ta0,

a1?， a2?2a1，

a5??a2a3???t2，

a4??，

?，

12

3a6?1?

?,

?ta7?2 ,

?t2a8?6

**??KK（4）形成有效刚度矩阵?：???????K??a0?M??a1?C?

T**???KK?LDL（5）对?作三角分解： ??????????B．对每个时间步计算 （1）计算t??t时刻的有效载荷

?F?t???t??F?t????F?t??t??F?t??M?a0?u?t?a2?u?t?2?u?t?????C?a1?u?t?2?u?t?a3?u?t??

（2）计算t???t时刻的位移

?L??D??L??u?t???t??F?t???t

T（3）计算t??t时刻的位移，速度和加速度

?u?t??t?a4??u?t???t??u?t??a5?u?t?a6?u?t ?u?t??t??u?t?a7??u?t??t??u?t?

?u?t??t??u?t??t?u?t?a8??u?t??t?2?u?t?与中心差分法相比较，Wilson-?法是隐式积分，即每计算一步，必须解一个线性代数方程组。当??1.37时，它是无条件稳定的。此外，这种算法是自起步的，t??t时刻的位移，速度和加速度都可由t时刻的变量表示，不需要特别的起动处理。

§3.6 Newmark方法

Newmark在1959年提出的逐步积分格式，故称为Newmark方法。它的基本假定是

?u?t??t??u?t????1????u?t???u?t??t???t (3.34)

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??1?2?u?u?u?t????u??u??t??t??t??t??t??t??t ???t??2???? (3.35)

其中?和?是按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数。当??,

12??1时，它就是线性加速度法，所以，Newmark6方法也

可以理解为线性加速度法的一个小延伸。Newmark法最初提出作为无条件稳定的一种积分格式是常平均加速度法，即假定从t到t??t时刻，加速度不变，取为常数

??1。 411u?u??。此时，取?????tt??t?22,

常平均加速度法是应用得最广泛的逐步积分方法之一。

研究表明，当??0.5，??0.25?0.5???2时，Newmark方法是无条件稳定的。从式?3.34?和?3.35?可得到?u?t??t，?u?t??t 用?u?t??t及?u?t、?u?t和?u?t表示的表达式，即有

?u?t??t?和

?u?t??t?????u??t-??ut??t1??t2???ut??u???t??t11???1??u????t??t?2??? u t （3.36）

??1-?????????t?u?t(1-??)t? u

2??（3.37） t考虑t??t时刻的动力方程，有

?M??u?t??t??C??u?t??t??K??u?t??t??F?t??t （3.38）

将式（3.36）和（3.37）代入（3.38），就得到关于?u?t??t的方程为

??K???u?t??t??F?t??t （3.39）

其中

1???K?K?M??????C? ????t2??t 14

??Ft??t??F?t??t??M?(1?u?t??t ?1u2??t??t?1???-1??u?t)?2????? ??C?[u???t?-1??u?t???t?????? ??-1??t?u?t]?2??

求解方程（3.39），就可得到?u?t??t，然后，根据式（3.36）和式（3.37）可解出?u?t??t和?u?t??t。 Newmark方法逐步求解的过程如下： A. 初步计算

（1）形成刚度矩阵?K?，质量矩阵?M?和阻尼矩阵?C?。 （2）给定初始值?u?0，?u?0和?u?0

（3）选择时间步长?t，参数?和?，并计算积分常数：

??0.50,??0.25?0.5???2

1?1; ??; ??;122??t??t??t1??t????3?-1; ?4?-1; ?5??-2?;

2??2????0??6??t?1-??; ?7???t; （4）形成有效刚度矩阵??K??: ??K????K???0?M???1?C?

T???KK?LDL （5）对?作三角分解： ?????????? B．对每个时间步计算

（1）计算t??t时刻的有效载荷

?F?t??t??F?t??t??M??0?u???2?u?t?|?3?u?????C??1?u?t??4?u?t??5?u?t??

（2）求解t??t时刻的加速度和速度

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