第三章 离散化结构动力方程解法

第三章 离散化结构动力方程的解法

§3.1 绪 言

对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程

?M??u???C??u???K??u???F(t)? （3.1） 这里，?u?、?u?、?u?及?F(t)?分别表示加速度、速度、位移及所作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。但是，由于?M?、?C?和?K?的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行

1

离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。主要有中央差分法，Houbolt方法，Wilson-θ法和Newmark方法等。

§3.2 模态（振型）迭加法

设有n个自由度的系统，在外力?F(t)?的作用下，常常被激起较低阶的一部分模态（即振型），而绝大部分高阶模态被激起的分量很小，一般可忽略不计。例如，在地震载荷作用下，通常，只有最低的二阶，三阶模态起主要作用。所以，对于这样的一些问题，采用模态迭加法是有效的。

设有式（3.1）的n阶动力方程，起主要作用的是其前q阶模态，通常取qn。按

Ritz变换，则可将式（3.1）中的?u?用前

qq个模态的线性组合来表示，即

{u}?Y1{?1}?Y2{?2}?...?Yq{?q}??{?j}Yj

j?1 ?[?]{Y} (3.2)

其中，[?]n?q为结构的已知的保留主模态矩阵，而{Y}q×1是维的模 态基坐标矢量，它形成了一个q维的模态空间。它表示在{Y}中，各阶主模态所占有的成分的多少。

假定[?]已用第二章所述的某一方法解出，再将式（3.2）代入（3.1），并左乘以[?]T，可得

2

[M]*{Y}?[C]*{Y}?[K]*{Y}?{F}* (3.3)

式中

[M]*?[?]T[M][?][K]*?[?]T[K][?][C]?[?][C][?]{F}*?[?]T{F}显然，式（3.3）是一个q阶的微分方程组。由于q?n，所以，它比式（3.1）的n阶就小的多了，实现了降阶，因而也就容易求解多了。

若展开上述的[M]*的表达式，根据主模态（主振型）关于[M]的表达式，根据主模态的（主振型）关于[M]的正交性质，可知

*T

mij*?0(i?j)

所以，[M]*是一个对角阵。同理可知[K]*也是一个对角阵。然而，在一般的情况下，[C]*是一个非对角阵，即在模态空间中，系统的的阻尼一般是耦合的。因此，式（3.3）是一个完全解耦的动力学方程。但是，它是一个已降阶的q阶的动力方程，可使用后面即将介绍的直接积分法求解。

当系统的阻尼为比例阻尼时，即[C]可以表示为

则[C]*为对角阵。此外，若系统的阻尼是一般的的线性阻尼，并非比例阻尼，但是只要结构的固有频率不相等，而且不十分接近，则可用舍去[C]*阵中的非对角元来实现[C]*的对角阵，也不会引起太大的误差。

在上述两种情况下，可以获得对于模态坐标的完全解耦的动力学方程。即式（3.3）是q个独立的方程，每个方程只包含一个未知量，相互之间不耦合。因而式（3.3）可按单自由度的动

3

[C]*??[M]*??[K]* (3.4)

力学方程写为

mii*yi?cii*yi?kii*yi?Fi*(t)(i?1,2,...q) (3.5)

或

yi+2?i?iyi+?i2yi?fi*(t)(i?1,2,...q) (3.6)

其中

2?i?i?cii*/mii*,fi(t)?Fi*(t)/mii*。式（3.6）可用直接积

分法计算，或用Duhamel积分求得其解为

yi(t)?1?ie?t0fi(?)e??i?i(t??)sin?id??--(3.7)

-??i?it{aisin?it?bicos?it}(i?1,2,...q)式中，?i??i1??i2，而ai，bi由初始条件

{y0}?([M]*)?1[?]T[M]{u0}{y0}?([M]*)?1[?]T[M]{u0}得出的

(3.8)

yi0与yi0决定。

由于有阻尼的存在，由初始条件所激发的振动，随时间的增长而衰减以致消失。因此，常可不计式（3.7）中的第二项，即是由初始条件激发的自由衰减振动。

计算出yi(t)后，便可利用式（3.2），计算出物理坐标的响应

{u(t)}。

整个计算步骤可归纳如下:

第一步：根据结构的离散化模型，建立系统的[M],[K]以及

{F(t)}，并进行结构的固有特性分析，即求解特征值问题

([K]-?2[M]){?}?{0}

4

求出前q阶特征对(?i,{?i})，（,..i.?,2,1标下的动力方程

..q）

第二步：形成模态阵[?]n?q?[{?1} {?2}...{?q}]，并建立模态基坐

yi?2?i?iyi??i2yi?fi(t) (i?1,2,...,q)

其中fi(t)?数据确定各阶主振动中的比例阻尼?i。

11T{?i}{F(t)}，而mii?{?i}T[M]{?i}。根据实验结果或经验mii.第三步：求解主模态基坐标的动力方程，有

yi(t)??i?t0fi(?)e?i?i(t-?)sin{?i(t-?)}d?，其中，

?i??i1-?2i。

第四步：进行坐标变换后，求得动力响应

?u??[?]?Y?

§3.3模态假设法

上节所述的模态迭加法，是用系统的真实主模态组成的模态矩阵，再对系统的物理坐标进行模态坐标变换，从而在主模态空间中得到降阶并解耦的动力学方程，这样来实现简化计算。而这里提出的假设模态法，则是用一组假设模态矩阵，对系统的物理坐标进行模态坐标转换，从而在模态空间中得到一组只降阶的动力学方程。

若令假设模态矩阵为?Φ?n?m，而m<

?X?t??n?1????n?m?q?t??m?1

T (3.10)

把它代入式（3.1），并左乘???，则可得到降阶的动力学方程为

5