第三章 离散化结构动力方程解法(2)

?M??q???C??q???K??q???Q?t?? (3.11)

***其中

?M??????M????， ?K??????K????, ?C??????C????, ?Q?t???????F(t)?。

*T*T*TT它们分别对应于假设模态坐标?q?的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵与广义力列阵。因为矩阵???中的各列都是假设模态，它们一般不具有正交性，所以，?M?、?C?和?K?都不是对角阵。于是，方程(3.11)是不能解耦的方程组，但它却是比式(3.1)的阶数要低得多了。显然，对式(3.11)采用直接积分法求解，将比对式(3.1)求解要简便得多。这是假设模态法的优点。

假设模态法的计算精度，很显然地是取决于假设模态阵中模态假设的好坏与质量。因此，应用假设模态法能否成功的关键在于确定出一个适宜的假设模态矩阵。在第五章中，我们介绍了几种构造假设模态的方法。

实际上，Rayleigh-Ritz法可认为是一种假设模态法。它的作用在于降低方程的阶数，简化计算。它的基本思想是，事先假定出若干近似的特征矢量，然后按照这些特征矢量的最佳线性组合，而算得前若干阶特征值的近似值。显然，运用这种方法时，其计算精度与事先假定的特征矢量的近似程度和数量有关。

按照Ritz变换的思想，找到了近似的特征矢量?Xi?后，

***?i=0,???,q?，即有

????a1?X1??a2?X2??????aq?Xq???X??A? (3.12)

求解如下的广义特征值问题，即

?K??A?=ρ?M??A?,???2 (3.13)

其中

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**

?K?=?X??K??X? ?M?=?X??M??X?

*T*T?K?和?M?为原结构离散化之刚度阵和质量阵，它们都是n阶方

阵。求解式(3.13)，得到q个特征矢量，有

1a?A1?=?1?2?A2?=??a1a2a21???aq??21T

2???aq?????aqq??T??????

??qAq=?a1?a2qT再按照Ritz的变换，即式(3.12)，由特征矢量?Aj?，可计算出矢量??1?，??2?，???，??q?，即是

??i???aji?xi? ?i=1,2,???,q? (3.14)

j?1q现在用???n?q?????1???2?构造的假设模态矩阵。

???它就是我们要?????来表示此变换阵，

q§3.4 中心差分法（显示法）

现在开始讨论直接积分法，或称逐步积分法。

前面讨论的模态迭加法，并非总是有效的。当刚度矩阵?K?，或质量矩阵?M?，或阻尼矩阵?C?出现随时间变化时，或当外荷载激起的振型太多，需要计算的特征对太大时，就不宜于采用模态迭加法，在这些情况下，采用逐步积分法是适宜的。中心差分法就是其中的一种。这种方法的特点，是将动力方程在时间域上离散，化成对时间的差分格式，然后根据初始条件，利用直接积分

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法逐步求解出一系列时刻上的响应值。

?0和??0。假定t?0时，位移、速度和加速度分别为已知的u0，u u再将求解的时间区间划分为n个等分，即?t?。我们要建立的积 分格式就是从已知的0，?t，2?t，…，t的解来计算下一个时间步的解。

在中心差分法中，按中心差分将速度和加速度矢量离散化为

Tn{u}t?1{u}t??t?{u}t??t? ?2?t（3.15） （3.16）

{u}t?1{u}t??t?2{u}t?{u}t??t? 2??t上面二式将t时刻的速度和加速度用相邻时刻的位移表示了。考虑在t时刻的动力方程，有

[M]{u}t?[C]{u}t?[K]{u}t?{F}t

（3.17）

将式（3.15）和（3.16）代入式（3.17）中，得到

121?1????1?[M]?[C]{u}?{F}?[K]?[M]{u}?[M]?[C]{u}t??t??t2?t??tt??t??222?t?t2?t??????t?（3.18）

这样，上式就化为用相邻时刻的位移表示的代数方程组。由它可解出{u}t??t。又由于它是利用t时刻的方程解得{u}t??t的，所以，它称为显示积分。并且，还注意到，在求解{u}t??t时，需要用{u}t，

{u}t??t的值。于是，在计算开始时，即t?0时，要计算{u}?t的值、

就需要{u}??t的值，他是未知的，因此，必须有一个启动的处理，

?}0和{u??}0是已知的，因而这种算法不是自起步的。由于{u}0,{u所以，

由t?0时的式（3.15）和（3.16），可解得

{u}??t?{u}0??t{u}0??t22{u}0

（3.19）

使用中心差分法的逐步求解过程如下：

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A． 初始计算

（1）形成刚度矩阵[K]，质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]。

?}0和{u??}0。 （2）给定初始值{u}0,{u（3）选择时间步长?t，?t??tcr，并计算积分常数：

a0?1?t2，a1?12?t，a2?2a0，a3?1a2。

?}0?a3{u??}0。 （4）计算{u}??t?{u}0??t{u~（5）形成有效质量矩阵[M]?a0[M]?a1[C]。 ~（6）三角分解[M]：[M]?[L][D][L]T。

B． 对每个时间步计算

（1）计算t时刻的有效载荷

~{F}t?{F}t?([K]?a2[M]){u}t?(a0[M]?a1[C]){u}t??t。

（2）求解t??t时刻的位移

~[L][D][L]T{u}t??t?{F}t。

（3）如果需要计算t时刻的速度和加速度

{u}t?a0?{u}t??t?2{u}t?{u}t??t?

{u}t?a1?{u}t??t?{u}t??t?

应当指出，这种中央差分算法，左端的系数矩阵只与质量阵

[M]和阻尼阵[C]有关，而与刚度阵[K]无关。如果质量阵和阻尼阵

是对角阵，那么在解方程时，就不需要对系数阵进行三角分解，即不需要解线性代数方程组，从第一步开始逐次直接求得各个时刻{u}t??t的值，这是中央差分格式就是一种显示的格式。此外，由于不求解代数方程组，也就不需要进行组集，它的右端项的形成也只须在单元一级水平上，由每个单元对有效载荷矢量的贡献迭加而成。因此，ADINA程序规定，在用中心差分法时，必须使

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用对角的质量阵和阻尼阵。从计算稳定性角度来看，中心差分法的缺点，在于它是条件稳定的，即当时间步长?t太大 时，积分是不稳定的。所以，对步长的限制是 …… 此处隐藏：865字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……