2017年天津市高考数学试卷（理科）详细解析版(6)

=

．推出

，

|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．

【解】（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6， 进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=． 当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x g′（x） g（x） （﹣∞，﹣1） + ↗ （﹣1，） ﹣ ↘ （，+∞） + ↗ 所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞）， 单调递减区间是（﹣1，）．

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（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），

得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）． 令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）． 由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，

故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减； 当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．

因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0， 可得H1（m）＞0即h（m）＞0，

令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，． 所以，h（m）h（x0）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且

令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．

由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点； 当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点． 所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，

不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．

由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2）， 于是|﹣x0|=

≥

=

．

，

因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，

所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0． 又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数， 从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1． 所以|﹣x0|≥

．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥

．

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，

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考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．

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