2017年天津市高考数学试卷（理科）详细解析版(5)

18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N）．

【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0． 又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n． 由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①． 由S11=11b4，可得a1+5d=16②，

联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．

所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n． （II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn， 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=

4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，

+

+

故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n， 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，

上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1 =得Tn=

．

．

=﹣（3n﹣2）4n+1﹣8

所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为

【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．

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19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率

为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． （I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

，求直线AP的方程．

【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出 【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．

依题意可得

，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．

所以，椭圆的方程为x2+

=1，抛物线的方程为y2=4x．

（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），

，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．

，消去x，

整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣

．∴B（，）．

∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，

令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．

又∵△APD的面积为整理得3m2﹣2

，∴×=，

．

|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±

∴直线AP的方程为3x+

y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．

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20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥

．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可． （Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）， 推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），

令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x） 利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且

令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．

由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|

﹣x0|=

≥