2017年天津市高考数学试卷（理科）详细解析版(4)

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 1080 个．（用数字作答） 【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①??、 四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，

组成一共四位数即可， 有A54=120种情况， 即有120个没有一个偶数数字四位数；

②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个， 在2、4、6、8中选出1个， 有C53?C41=40种取法，

将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；

故答案为：1080．

【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．

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三.解答题：本大题共6小题，共80分．

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+

）的值．

【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；

（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案． 【解答】

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=， 可得cosB=． 由已知及余弦定理， 有∴b=

．

， ．

， ；

， =13，

由正弦定理得sinA=∴b=sinA=

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=1﹣2sin2A=﹣故sin（2A+

）=

， ．

=．

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．

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16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．

（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值；

（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值． 【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，

P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=

，

P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=， P（X=3）=××=

；

所以，随机变量X的分布列为

X P 0 1 2 3 随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；

（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0） =P（Y=0）?P（Z=1）+P（Y=1）?P（Z=0） =×

+

×=

；

．

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

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17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为线段AH的长．

，求

【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；

（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；

（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出所成角的余弦值为

的坐标，结合直线NH与直线BE

列式求得线段AH的长．

【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD，

∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC，

又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F．

∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；

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（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．

∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2，

∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则

设平面MEN的一个法向量为由

，得

，取z=2，得

．

． ，则正弦值为

； ，

，

|=

．解得：t=4．

，此时线段AH的

．

，

，

．

，

由图可得平面CME的一个法向量为∴cos＜

＞=

∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为

（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为∴|cos＜

＞|=|

|=|

∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为长为4．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．

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