2015-2016学年度武汉市部分学校新高三8月起点调研测试数学（理）(3)

33333bna2n?a2n?a2n?a2n?22221331所以数列{a2n?}是以a2?即?为首项，以为公比的等比数列. ??? 5分

3262n?131?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?a2n??????26?3?由a2n?1?1?1?1?3?????，即a2n??????，

2?3?2?3?2nn11115a2n?1?(2n?1)，得a2n?1?3a2n?3(2n?1)???()n?1?6n?， 323211n?11n1n所以a2n?1?a2n???[()?()]?6n?9??2?()?6n?9，

2333S2n?(a1?a2)?(a3?a4)???(a2n?1?a2n)

111??2[?()2???()n]?6(1?2???n)?9n

33311[1?()n]3?6?n(n?1)?9n?(1)n?1?3n2?6n?(1)n?3(n?1)2?2??10分 ??2?312331?3显然当n?N?时，{S2n}单调递减，

又当n?1时，S2?78＞0，当n?2时，S4??＜0，所以当n?2时，S2n＜0； 39315S2n?1?S2n?a2n??()n??3n2?6n，

232同理，当且仅当n?1时，S2n?1＞0，

综上，满足Sn?0的所有正整数n为1和2．????????????????? 12分

20.解：（Ⅰ）依题意得，

0 f?x sx?0.??ecos?0，1??sinx,?g?x?xe?cogg??x??excosx?exsinx,g?(0)?1,

所以曲线y?g?x?在点(0,g(0))处的切线方程为 y?x?1???????????????4分

?π?（Ⅱ）等价于对任意x???,0?，m≤[g?x??x?f?x?]min．

?2??π?设h(x)?g?x??x?f?x?，x???,0?．

?2?则h??x??excosx?exsinx?sinx?xcosx?ex?xcosx?ex?1sinx

??π?因为x???,0?，所以?e?x?cosx≥0,?e?2?x???x?1sinx≤0，

??π?所以h??x?…0，故h(x)在??,0?单调递增，

?2??π???因此当x??时，函数h(x)取得最小值h?????；

22?2?π???所以m≤?，即实数m的取值范围是???,??． ······································ 10分

2?2??ππ?（Ⅲ）设H(x)?g?x??x?f?x?，x??,?．

?42??ππ??ππ?当x??,?时，H?(x)?ex(cosx?sinx)?sinx?xcosx?0，所以函数H(x)在?,?上单调递减，故函

?42??42??ππ?数H(x)在?,?至多只有一个零点，

?42?π2ππππ?ππ?又H()?(e4?)?0,H()???0，而且函数H(x)在?,?上是连续不断的，

42422?42??ππ?因此，函数H(x)在?,?上有且只有一个零点． ········································ 13分

?42?21.解析：（Ⅰ）直线l的倾斜角为

?，F2(c,0)，直线l的方程y?x?c， 4c2?，c?1，T(x0,y0)为椭圆C上任一点， 22TF221x022?(x0?1)?y0=(x0?1)?(1?2)(a?1)=2(x0?a2)2≥(3?1)2，?a?x0?a,

aa222当x0?a时，a?1?3?1，a?3，b?2, x2y2??1..………………………5分 椭圆C的方程 32（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，P,Q两点关于x轴对称，则x1?x2,y1??y2，

x12y126??1，而S?2x1y1?6，则x1?由P?x1,y1?在椭圆上，则,y1?1, 322知ON?PQ=26.

当直线l的斜率存在时，设直线l为y?kx?m，代入

x2y2??1可得 32 第（21）题图 2x2?3(kx?m)2?6，

即(2?3k2)x2?6kmx?3m2?6?0，

??0，即3k2?2?m2,

6km3m2?6x1?x2??,x1x2?, 222?3k2?3kPQ?1?kx1?x2?1?k22263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k, 22?3k22d?m1?k22，S?POQ211263k2?2?m26, ??d?PQ?m?222?3k22222222222化为4m(3k?2?m)?(3k?2)，(3k?2)?2?2m(3k?2)?(2m)?0，

9k4?12k2?4?12m2k2?8m2?4m2?0,

22222得到，(3k?2?2m)?0,则3k?2?2m，满足??0,

x1?x23ky1?y2x1?x23k21???k()?m???m?， 由前知，22m222mm设M是ON与PQ的交点，则

x1?x22y1?y229k2111OM?()?()???(3?),

224m2m22m2224(3k2?2?m2)2(2m2?1)1PQ?(1?k)??2(2?), 2222(2?3k)mm22OM2PQ?(3?21111253??2?)(2?)≤，当且仅当，

m2m2m2m24即m??2时等号成立， 综上可知OM?PQ的最大值为

5. 2ON?PQ=2OM?PQ的最大值为5. ………………………10分

???????（Ⅲ）因为以OS为直径的圆与C2相交于点R，所以∠ORS = 90°，即OR?SR?0 ,

???????设S （x1，y1），R（x2，y2），SR＝（x2-x1，y2-y1），OR=（x2，y2）,

???????y22(y22?y12)?y2(y2?y1)?0, 所以OR?SR?x2(x2?x1)?y2(y2?y1)?16因为y1?y2，y2?0，化简得y1???y2???16?? , y2?所以y1?y2?当且仅当y2?2222562256?32?2y?32?64， 2?22y2y22562即4时等号成立. y2＝16，y2＝±2y22121y1411圆的直径|OS|=x?y??y12?y14?16y12?(y12?8)2?64, 1644因为y12≥64，所以当y12＝64即y1=±8时，OSmin?85，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）..……………………14分