哈密顿算符不同坐标下的表示(4)

e21添上能量的自然单位，得E?En??22?? 其中a??2?e2，是波尔半径。 22?n2an n为主量子数，n?1,2,3...

l为轨道量子数， l?0,1,2...(n?1)，分别对应s、p、d等轨道， m为磁量子数，m??l,?l?1,...l 共2l?1?2n个取值。

2?e413.2极坐标解法在二维中心力场中的应用

现实生活中的粒子一般是在三维势场中运动的，但是近年来，由于技术上的进步，有效

的低维（如二维）体系的制备已在实验上逐步实现（如分子束外延技术制备半导体纳米结构等），低维量子物理的研究已引起人们广泛关注，下面我们讨论二维中心力场中的问题。

我们已经求得了三维库伦力场中氢原子的波函数及其能级，那么与三维中心力场相似，二维库伦力场的求解可采用极坐标解法，其中，二维力场中的库伦势能可表示为

V(?)??则薛定谔方程可表示为

? 其中??Ze2,Z?1,2,3... ??21??l2?2?[?(??2)?]??E? （E?0，束缚态） 2?????????2?显然，lz??i??是守恒量，取?为守恒量完全集(H,lz)的共同本征态，令 ???(?,?)?eim?R(?) 其中，m?0,?1,?2...

则取自然坐标单位（??????1）时，径向方程可表示为

d21dm22 [2??2?(2E?)]R(?)?0 （2.1）

d??d???其中，??0，?是方程的奇点。

在??0时，方程（2.1）可渐进得表示为

d21dm2[2??2]R(?)?0 d??d??s??0，所以R??令R??，带入上式，得s?m?0，所以s??m，由于R??22??0?m是没有物理意义的，应舍弃。

当???时，方程（2.1）可变为

d21d[2??2E)]R(?)?0 （E?0） d??d?可以解得R(?)?exp(??2E?)但是，满足束缚态边界条件的解只有

R(?)?exp(??2E?)

因此，我们令 R(?)??e???u(?) 其中???2E （E?0） 重新代入方程（2.1），可得

md2udu?2?(2m?1?2??)?[2?(2m?1)?]u?0 d?d? 再令??2??，可得

d2udu1?2?(2m?1??)?[(m?12)?]u?0 d?d??这是合流超几何方程，它在??0的邻域的解析解表示为F(?,?,?)相应参数为

??m??其束缚态边界条件要求

121?，

??2m?1

??n? ， n??0，1，2... ??1

n??m?12由此有

则可得能量本征值（自然单位）

1 E?? 其中 22n2即可证明能级简并度 fn2?2n2?1,3,5... 则相应的波函数（未经归一化）可表示为

?n?，m?0，1，2...??1135 ?n2?n??m??,,...2222???m?0,?1,?2?2??m??n2im? ?n?m(?,m)?e?eF(?n?,2m?1,) 其中 ?n??0，1，2...n2??n2?n??m?1?1,3,5...?2222?可以看到，二维库伦力场和三维库伦力场的问题有一定的相似性，事实上，只要把三维

库伦力场中l?m?1，即可求得二维库伦力场中的能级公式。但是，从径向分布来看，2二维和三维的氢原子也存在较大差异。例如圆轨道（径向量子数nr和n?为0的径向波函数）的最概然半径（自然单位）为

rn?n2,rn2?n2,2n?1,2,3...(三维氢原子)(二维氢原子)

135n2?,,...222122例如三维氢原子最低的三条圆轨道0s、0p、0d的最概然半径分别为1：4：9，而二维氢原子最低的三条圆轨道的最概然半径为():():()?1:9:25，即这些相邻的圆轨道的最概然半径的差别，对于二维氢原子要比三维氢原子明显得多。

3225223.3哈密顿算符矩阵形式的应用

在量子力学的计算中, 通常需要采用各种数值解法来求解体系能量算符的本征值方程，如特殊函数法，变分法、狄拉克符号法、矩阵法等等，在分子轨道理论中，用矩阵法求解本征值方程则有着它独自的优势。下面我们以处理丁二烯的化学键为例说明。

丁二烯是一个典型的共扼分子, 其结构式为CH2?CH?CH?CH2,设其分子轨道波函数可由各碳原子的P轨道波函数?i线性组合而成, 即??c1?1?c2?2?c3?3?c4?4,暂且将?1，?2，?3，?4 看成是相互正交的单位矢量（ 实际上并不完全正交，但是由于其轨道重叠度较大，因此如此假设的误差非常小）, 那么?可以写成向量形式??(c1,c2,c3,c4)在四维空间, 哈密顿算符为：

?H11???H21??? H?H31???H41?根据休克尔假定

[5]

H12H22H32H42H13H23H33H43H14???H24?? (3.1) H34??H44???H11?H22?H33?H44??H12?H23?H34?H21?H32?H43?? H13?H14?H24?H31?H41?H42?0式(3.1)可简化为

?????????H?0???0?0?????0??

?????0??????0?的久期方程为: 根据矩阵与特征方程的时应关系, 可直接得出H??????E? H?000?0 (3.2)

?00????0?????????上式亦为丁二烯分子轨道的久期方程。而这个久期方程的求得, 是不需要通过变分法的。解

?的本征值为： 久期方程（3.2）可得H?1???1.62??2???0.62? (3.3)

?3???0.62??4???1.62?

此即为丁二烯离域二键四个分子轨道相对应的能量值。将所得的能量值代回薛定愕方程所对 应的齐次线性方程组

?????00????0?c1??????????????0????0????c2???? ?0???????c3??0??????0??c4?????00????????可解出四组c值。这样, 便可求得丁二烯离域二键的四个分子轨道波函数为：

?1?0.372?1?0.602?2?0.602?3?0.372?4

?2?0.602?1?0.372?2?0.372?3?0.602?4?3?0.602?1?0.372?2?0.372?3?0.602?4?4?0.372?1?0.602?2?0.602?3?0.372?4 (3.4)

式（3.3）和（3.4）就是丁二烯体系中薛定愕方程H????的近似解。

从上面的处理丁二烯共价二键的过程可以看出, 使用的方法与休克尔分子轨道法大致

?相同。但是我们又看到, 用复杂的变分法求久期方程的过程在这里大大简化了。用矩阵法一步即求得久期方程。

4、结论与讨论

以上是我们推导哈密顿算符不同形式的表达式的过程及具体的例子应用，事实上，对于相关的动量直接量子化，得到的结果则会比正确结果多一些含有?的项或少一些含有?22的项，量子力学中称这些项为含糊项。这些项虽然并不产生任何物理影响，却带来了H形式上的不确定性。本来通过计算给出了动量分量的算符表述。

从前面的一些推导过程可以看出，最好在笛卡尔坐标系中建立正确的结果与两种坐标

?的正确表达式。 之间的相互关系，来得到非笛卡尔坐标系中H 对于休克尔假定能够成立的分子轨道体系，可以采用哈密顿算符的矩阵表示法一步求

得久期方程，而不需要采用复杂的变分法。 文中的不足之处，敬希老师指正。

参考文献:

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[3]曾谨言 量子力学（卷1）第四版[M] 北京科学教育出版社 2007年1月

[4]黄庆达 不同坐标系下哈密顿算子换算 天津理工学院学报 Vol.16.No.4 Dec.2000

[5]毛希安 哈密顿算符的矩阵表示法在分子轨道理论中的应用[j]江西师范学报1981第二期 [6]尹世忠 球面坐标系下的动量算符[J] 南昌教育学院学报 2010第25卷第1期 [7]胡昆明 李彦敏 相对论性动量算符在球面坐标系中的分量不会出现

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学院学报 2204.4第20卷第2期

[8]李宁 强磁场中氢原子的能级和波函数的研究（J）中国石油大学 2008年4月

[9]黄永平 陶才德 不同坐标系中的正则量子化要求[J] 西华师范大学学报 2004.12第25卷 [10]高等数 …… 此处隐藏：1887字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……