哈密顿算符不同坐标下的表示(2)

??c1?1?c2?2?...?cn?n??ci?i （4.2）

i?1n如果我们选取一组正交向量?1，?2，···，?n作为n维空间的一个基底， 从而?可以用向量形式表示出来，即： ??(c1,c2,...,cn) （4.3）

?看成是在该矢量空间的线性变换，则可用矩阵来表示这个变换。不妨令：再将哈密顿算符H

?a11a12...a1n??????a21a22...a2n???? H? （4.4）

?.................?????an1an2...ann?????变换后，?经H矩阵代数告诉我们，任一向量经线性变换后仍为该空间的一个向量。因此，

n??可得一新的向量。现令该新的向量为B：B?(b1,b2,...,bn)??bi?i

i?1也就是：

?a11a12...a1n???c1??b1?????????a21a22...a2n??c2??b2??n???????????B??bi?i （4.5） H?.................???????i?1???c??b??n??n???an1an2...ann?????是线性算符，故有： 又因H???H?(c??c??...?c?)?cH??? H1122nn1?1?c2H?2?...?cnH?n????cHii?1ni （4.6）

??一定可写成?，?变换后所得的新矢量H根据矩阵代数可知，任一单位矢量?i经Hi1?2，···，?n的迭加形式，因此，可令：

???d??d????d?? H1j12j2njnn?d?iji?1nni (j?1,2,...n) （4.7）

????c?d? （4.8） 那么式（4.6）便成为： Hjijij?1i?1nnnn对式（4.8）施以必要的代数运算： H?????cjdij?i???dijcj?i j?1i?1i?1j?1n与式（4.5）进行比较，立即看出：bi??dijcj (i?1,2,...,n)

j?1???d11d12...d1n???b1???cdd???1??写成矩阵形式，即为： ?b?2??2122...d2n???c?????????.................??2?? ?bn?????????d?c?n??n1dn2...dnn???再与式（4.5）进行比较，就得：

??a11a12...a1n?????d11d12...d1n???a????21a22...a2n?????d?21d22...d2n???.................??.................? 或： aij?dij??????an1an2...ann??????dn1dn2...dnn???若将式（4.6）两边左乘??i并在整个空间积分，即得：

???iH??jd?????id1j?1d?????id2j?2d??...????idnj?nd? nn ????idrj?rd??i?rd? r?1???drjr?1??注意到?i，?r的正交、归一条件，即

?1当i?r时???i?rd????ir?? ??0当i?r时那么式就变成： ???iH??id??dij?aij 若积分???iH??id?用符号Hij来代替，便有： Hij?aij 根据式（4.9），即得出哈密顿算符H?的矩阵形式为： 4.9） （

?H11H12...H1n??????H21H22...H2n????? H?...................?????Hn1Hn2...Hnn????3、哈密顿算符不同表达式的应用

3.1、球坐标解法在中心力场中的应用

自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题，如地球在太阳系中的运动，电子在原子核周围的运动等等。在量子力学中求解中心立场的问题时，通常选(H,l,lz)作为守恒量完全集，用它们的共同本征态来对定态进行分类。

??2??22对于能量本征方程 [???V(r)]??E? （1.1）

2?考虑到中心力场的球对称特点，选用球坐标较为方便。已知球坐标下有：

1?2?1??1?2 ??2r?(sin?)?2r?r?rr2sin?????rsin???221??1?2又因为 l???[(sin?)?] 2sin?????sin???22两式带入（5.1）可得

?21?2?l2?21?2l2 [?r??V(r)]??E? 或 [?r??V(r)]??E?

2?r2?r?r2?r22?r?r22?r2上式左边第二项称为“离心势能”，角动量越大则离心势能越大；第一项可表示为

12pr，2?称为径向动能，其中pr??i?(??2??1??)?pr，是径向动量。 ?rr 取?为(H,l,lz)的共同本征函数，可得

?（r,?,?）?Rl(r)Ylm(?,?) 其中?m?l?0,1,2...

?m?l,l?1,...,?l方程中Rl(r)为径向函数，Yl(?,?)为角度方向函数，则本征方程变为

[1d2?l(l?1)2?mr?V(r)?]RY??ERlYlm? ll22222rdr?r?m由此先不考虑角度方向的函数Yl(?,?)，则得到径向方程为

[或

1d2?l(l?1)r?(E?V(r))?]Rl?0

r2dr2?2r2d2Rl2dRl2?l(l?1) ??[(E?V(r))?]Rl?0 其中l?0,1,2... （1.2） 2222drrdr?r 不同的中心力场V(r)就觉定了不同的径向波函数，及其本征值。径向方程（1.2）不含磁量子数m。因此能量本征值与m无关。可以这样理解：由于中心力场的球对称性，粒子

的能量显然与z轴的取向无关。但是其能量与角量子数l有关，在给定l的情况下，

m??l,?l?1,...l?1,l，共有(2l?1)个可能取值，因此，一般来说，中心力场中粒子的能级 …… 此处隐藏：500字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……