哈密顿算符不同坐标下的表示

哈密顿算符不同形式下的表达式

胡连钦(08180218) 范世炜(08180218) 摘要：由直角坐标系中的哈密顿算符向不同坐标系转换，将得到不同形式（极坐标、柱坐标、球坐标和矩阵）的哈密顿表达式。本文采用直接微分运算的方法，详细的介绍了哈密顿算符表达式的数学推导过程，降低了初学时的难度。另外本文还通过计算，直接给出了动量分量的算符表述，并且针对不同情况补充相应的例题或是加上哈密顿算符的具体应用。

关键词：哈密顿算符 微分运算 推导过程 动量分量 算符表述 应用

1.引言

在经典力学中，我们定义哈密顿算符为总能量算符：

??T??V??p?2/2m?V H?)出发，位置算符是空间矢量自身： r??r 如果我们从波函数???(r??x ，y??y ， z它的分量是 x??z ???i?? 动量算符表示为 p?x??i? 它的分量是 p??? ，p?z??i? ?y??i? ，p?x?z?y对应的哈密顿算符可以通过标准的替换规则p??i??得到

?22?H????V

2m在教科书中，给出了哈密顿算符的柱坐标及球坐标的表达式，但因数学推导过程难度过大，一般教科书中都是略去的。接下来，我们给出了方程的数学推导过程，降低初学时的难度。

2、哈密顿算符在不同坐标中推广表达式

2.1、极坐标下的哈密顿算符

y 极坐标中独立变量

?、?与直角坐标中独立变量

? ? x x、y之间的关系：

???x2?y2? ?y

???arctanx?????????sin?????cos?? ?x???x???x?????????????cos?????sin?? ?y???y???y?????图1 极坐标与直角坐标的关系 根据上述关系有：

哈密顿算子?在直角坐标中的表达式为：

??????ex?ey

?x?y据上述坐标之间的微分关系为：

(?2??sin??2?cos??2?1?2)?()2?(cos??)?(sin??)?()2?() ?x?y?????????????????1??e??e? ?????所以哈密顿算子?在极坐标中的表达式为：

??据哈密顿算子?的计算过程有：

2

?2???sin???sin??

?()?(co?s?)(co?s?)?x2?x?x??????????2222?sin??2sin?co?s?2sin?co?s?sin?? ?cos???????2????2????????2??22?2?2cos2??2sin?cos??2sin?cos??2cos2??2 2?sin??????y2??2????2????????2??2所以拉普拉斯算子?在极坐标中的表达式[5]为：

2

?21?1?2 或 21??1?2 ??2??2??(?)?????????2??????2??22?可以表示成： 所以极坐标下的哈密顿算符H22?1??1???? H((?)?2)?V （1.1） 22m????????在极坐标下的动能表达式为：T?正则动量为： p??1?2??2??2) (?2m?T?T?2 ? 和 p???m?2??m???????22pp????得到哈密顿量为： H??V （1.2） 22m2m??i,p?j]?i??ij的要求，如果仍将相 在极坐标中将（1.2）式直接进行量子化，通过满足[q????i?应的算符表示为： p??????i? ， p

????222??1????得到 H(2?2)?V （1.3） 22m????? 通过比较，发现（1.3）与（1.1）不一致，但是（1.1）式是正确的，错误的原因是p????i?????并非厄密算符，一个算符F满足F?F，才是厄密算符。量子力学中表示力学量的算符必

须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量分量的算符必须是厄密算符。所以

????i?p?不能作为动量算符的分量表示。 ??通过厄密性的要求，可以证明径向的动量算符应该为

?11? p????i?(?)??i???2????? （1.4）

????i?现在把（1.4）式，p?带入（1.2）式得到 ??2222????(??1??1?)???V （1.5） H2m??2????2??28m?2?2 比较（1.5）与（1.1），发现多了项，尽管所有的算符已经满足对易规则且为厄

8m?2密算符，但是仍然没有得到正确的量子哈密顿量。

??的算符， 所以我们通过构造动量分量p在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，

?不对易，为了保证径向?????p或p???p??，过渡到量子力学，由于p??和?定义为p动量算符是厄密算符，我们可以取 1???i? ???(??p?p??)??i?p?2?????这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。

?i?，?。 所以动量算符在球坐标系中的各分量为p????i??????i?p?????????2.2、柱坐标下的哈密顿算符

柱坐标中独立变量r、?、z与直角坐标中独立变量x、y、z之间的关系

?r?x2?y2?y???arctan ?

x??z?z?

图2直角坐标与柱坐标的关系 据上述关系有：

????sin??2?cos??2?()2?()2?()2?(cos??)?(sin??)?()2 ?x?y?z?rr???rr???z ?(?)2?(1?)2?(?)2

?rr???z

所以哈密顿算子?在柱坐标中的表达式为：

??1??????er?e??ez ?rr???z据哈密顿算子?的计算过程有：

22?2?2sin??2sin?co?s?2sin?co?s?2sin?? 2 2?cos?2????22?x?rr?rr??r?r??r??2222222??cos??2sin?co?s?2sin?co?s?cos??2 ?sin?2????2222?y?rr?rr??r?r??r??2

?2?2?2。 2?z?z所以拉普拉斯算子?在柱坐标中的表达式为：

2

?21?1?2?21??1?2?2 2 或 ??2?????(r)???rr?rr2??2?z2r?r?rr2??2?z22?可以表示成： 所以柱坐标下的哈密顿算符H?21??1?2?2? H??((r)??)?V （2.1）

2mr?r?rr2??2?z2?r的算符，在经典力学中，径 在柱坐标中将（2.1）式直接进行量子化，构造动量分量p?r???p或p?r?p??，?r和向动量就是动量的径向投影，定义为p过渡到量子力学，由于prrrr?不对易，为了保证径向动量算符是厄密算符，我们可以取 r?r?p1rr?i?

(??p?p??)??i??2rr?rr?z。 其实柱坐标中的动量分量与极坐标下的情形十分相似，就多了动量在Z上的分量p??i??，? 所以动量算符在球坐标系中的各分量为ppz??i?。 ?r??i??，p????i??z?rr??2.3、球坐标下的哈密顿算符

球坐标中独立变量r、?与直角坐标中独立变量x、?、y、z之间的关系

?222?r?x?y?z ?x2?y2 ????arctanz?y???arctan?x?

图3直角坐标与球坐标的关系 根据上述关系有：

??cos?cos??sin?? ??sin?cos????x?rr??rsin?????cos?sin??cos?? ?sin?sin????y?rr??rsin?????sin?? ?cos???z?rr??利用与柱坐标中相同的运算过程，可给出哈密顿算子?在球坐标中的表达式

????1??1??er?e??e? ?rr??rsin???根据哈密顿算子的计算过程，得到拉普拉斯在球坐标下的表达式为：

?22?cos??1?21?2 ??2??2?2?2222?rr?rrsin???r??rsin???221?1??1?2?或 ??2 r?2(sin?)?22r?r?rrsin?????rsin???2?可以表示成： 所以球坐标下的哈密顿算符H?21?2?1??1?2?H??[r?(sin?)?2]?V

2mr2?r?rr2sin?????rsin???2 然后对上式进行量子论，利用正则变换很容易得到

1212??1(p?r2?2p???22p??H)?V

2mrrsin? 在球坐标下，动量整体的算符[6]表示

?1?1????i????i?(e?r??????) pee?rr??rsin??? 但是?i??1?和?i?都不是厄密算符，所以都不能作为动量分量的算符表示。 ?rr???r?p1rr?i?(??p?p??)??i?? 2rr?rr 为了保证径向动量算符是厄密算符，我们 …… 此处隐藏：2186字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……