哈密顿算符不同坐标下的表示(3)

是(2l?1)简并的。 为了求解方程，可令

Rl(r)??l(r)r

代人方程（1.2），得

?l?[?2?l(l?1)(E?V(r))?]?l?0 （1.3） ?2r2 在一定条件下即可求解径向方程（1.2）或（1.3），即可得出能量本征值。一般在束缚态条件下求解径向方程时，将出现径向量子数nr?0,1,2...，它们代表径向波函数的节点数（其中r?0,?着两个奇点不包括在内）。

另一方面，角度部分满足球谐函数Ylm(?,?)，则只要根据条件求出径向函数Rl(r)和球谐函数Ylm(?,?)，即可解得中心力场中的波函数?（r,?,?）?Rl(r)Ylm(?,?)及其能量本征值。

下面以氢原子为例，具体求解。

已知氢原子中V(r)??er，则具有一定角动量的氢原子的径向方程为

22?el(l?1)?l??[2(E?)?2]?l?0

?rr 在原子物理中，对于上式，可采用自然坐标（在计算过程中令????e?1，然后在计算所得最后结果中按个物理量的量纲添上相应的自然单位），则上述方程可表示为 ?l?[2E?)?其中r?0,?是方程的两个奇点。

首先考虑当r?0时，方程（1.4）可渐进地表示为

2?2rl(l?1)]?l?0 （1.4） r2?l??可解得

l(l?1)?l?0 r2?l(r)?rl?1，r?l

r?0 物理学上的渐进行为满足?l(r)????0，所以得到

?l(r)?rRl(r)?rl?1 (r?0)

其次考虑当r??时，我们限于讨论束缚态（E?0），则方程（1.4）可变化为

?l??2E?l?0

则?l(r)?exp(??2Er)，再考虑束缚态边界条件下渐进行为满足?l(r)????0，则

r???l(r)?rRl(r)?exp(??2Er) (r??)

由此，可令

?l(r)?rl?1e??rul(r) 其中????2E

重新代入方程（1.4）可得：

?rul??[2(l?1)?2?r]ul?[2(l?1)??1]ul?0

再令??2?r，则

d2uldul1??[2(l?1)??]?[(l?1)?]ul?0 2d?d?? 这方程属于合流超几何方程，进行数学上的求解，最后可得波函数为

?nlm?Rnl(r)Ylm(?,?)

其中，归一化的径向波函数

1Rnl(r)?Nnlexp(??)?lF(?n?l?1,2l?2,?)

2其中

Nnl?a23n22(2l?1)! 而球谐函数为

(n?1)!

(n?l?1)!Ylm(?,?)?(?1)m其中P?)为连带勒让德函数 l(cosm(l?m)!2l?1mPl(cos?)eim?

(l?m)!4?同时，求得能量本征值 E??12???21 22n