中南大学高等代数习题册Ch1-Ch4(6)

班级 姓名 学号 §5 矩阵的分块

1. 设A，B均为n阶方阵，（1）计算 ??EE??A?0E???B??BA????E?E??0E??; （2）证明：ABBA?A?B?A?B.

2． 设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC?CA，证明：AC3．设X???0A??B0?，已知A,B均可逆，证明X可逆，并求其逆矩阵. ?4．已知A可逆，（1）证明??AA?A?A可逆，并其逆矩阵; ?????1111??1 （2）利用（1）求矩阵?1?11?1????11?1?1?. ?1?1?11??

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BD?AD?CB.

班级 姓名 学号 §6 初等矩阵

一．填空题

1．对矩阵施行一次初等行变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵；对矩阵施行 一次初等列变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵.

2． 利用初等变换求矩阵的逆矩阵时通常可用两种方式：（1）将矩阵A与E拼成形式 （2）将矩阵A与E拼 (AE)，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E；

成形式??A??，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E. E???A??E?经过一系列的初等列变换化为???，则C? . ?B??C?3．分块矩阵?4．分块矩阵?A二．计算

B?经过一系列的初等行变换化为?EC?，则C? .

1．用初等变换法判别下列矩阵是否可逆，可逆时求其逆矩阵：

?3?0（1）??5??23?4?3??1111??11?1?1?611?? （2）?? ?1?11?1?421????332?1?1?11???11?1??1?1???X??11?，求矩阵X.

22．设02???????1?10???21??

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班级 姓名 学号 §7向量空间Fn的进一步讨论§8 向量空间Rn的内积、正交化和正交矩阵

1 向量??(a,b)'在基?1?(1,1)',?2?(0,1)'下的坐标是(a,b)，求基?1,?2到基?1,?2的过渡

矩阵= ，即(?1,?2)?(?1,?2)T， ?在基?1,?2的坐标= 2 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

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班级 姓名 学号 §9 特征值和特征向量 矩阵的对角化

1 已知?1?(1,0,0,0),?2?(0,1,1,0), ?3?(0,1,1,1)，

?4?(0,0,1,1)是R4的一组基

用施密特正交化方法, 由?1,?2,?3,?4 构造R4的一组标准正交基. 2 对于矩阵

?22?2???A??25?4?

??2?45???求正交矩阵U ，使得U'AU为对角型矩阵.

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班级 姓名 学号 第四章 二次型

§1 二次型及其矩阵表示

1．二次型f(x,y,z)??x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是_____ ______.

??1?2．二次型f(x1,x2,x3)??x1,x2,x3???4???3?n22i2232??1???x1?1???x2?的矩阵是_____ ______. 2??????x3??1???n?3. 二次型n?x???xi?的矩阵是_____ ______.

i?1?i?1?a114. 设A?aija12a22an2x2a1na2nannxnx1x2的矩阵是

??a21n?n. 二次型f?x1,x2,,xn??an1x1xn0

_____ ______.

5. 设A, B是两个同级的对称矩阵，证明：二次型XTAX可用非退化线性替换化为二次型

YTBY的充要条件是：A与B合同. 6. 证明：

??1??2? ???合同，其中i1,i2,

??? 与 ???n???i1???????i2???? ??in??,in是1,2,,n的一个排列.

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