中南大学高等代数习题册Ch1-Ch4(5)

班级 姓名 学号 §6 线性方程组解的结构

一．填空题

1.一个齐次线性方程组中共有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 .

二．计算与证明

?ax1?x2?x3?a?3?1.讨论a取何值时，方程组?x1?ax2?x3??2有解，并求解.

?x?x?ax??223?1??1???x1?x2?x3?0?2. 问?取何值时，非齐次线性方程组 ?x1??1???x2?x3?3有无限多个解？并在有无穷

??x1?x2??1???x3??多解时求其通解.

?x1?x2?x3?4x4?3x5?0?2x?x?3x?5x?5x?0?123453. 求线性齐次方程组?的基础解系.

?x1?x2?3x3?2x4?x5?0??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0?x1?x2?x3?x4?1?x??x?x?x?2?12344. 设线性方程组为?讨论?为何值时，该线性方程组有唯一解？

x?x??x?x?334?12??x1?x2?x3?(??1)x4?1无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。

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班级 姓名 学号 第三章 矩阵

§1-2 矩阵的概念与运算

一．选择题

1. 若矩阵A，B满足AB?O，则（ ）.

A.A?O或B?O；B.A?O且B?O；C．A?O且B?O；D.以上结论都不正确

2. 设A,B为n阶方阵，A?O，且AB?O，则（ ）.

A.B?O B.B?0或A?0 C．BA?O D.?A?B?2?A2?B2

3. 设A为3?4矩阵，B为2?3矩阵，C为4?3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ A.BCTAT B.ACBT C．BAC D.ABC

4. 设A?12(B?E)，则A2?A的充要条件是（ ）. A. B?E； （B）B??E； C．B2?E； D. B2??E.

二．计算与证明 1. 设A??ab????cd???, 则当a,b,c,d满足何条件时,A?AT ？A?A2 ？为什么？ ??1a1??2. 设A??1a21?????，B???11?b1b2b?．计算AB及BA. n??1a?n??121??1?23?3．设A???122?????，B???1?2?4?, 则3AB?2B____________.

?1?11????311??

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。

） 班级 姓名 学号 §3 矩阵乘积的行列式与秩

一．选择题

1. 如果AB?BA?E，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）.

A.A?0； B.A?0； C．A?k,k?1； D.A?k,k??1

2. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA? ( ).

A. kA； B. kA； C． knA D. |k|nA

3 A,B为n阶方阵，A?O，且R(AB)?0，则（ ）.

A.B?O； B.R(B)?0； C．BA?O；D.R(A)?R(B)?n.

二．证明

1．设A、B为同阶矩阵，求证：rank(A?B)?rank(A)?rank(B). 2．设A、B为n阶方阵，证明：如果AB?0，那么rank(A)?rank(B)?n. 3． 设A为n阶方阵，求证，rank(A?E)?rank(A?E)?n. 4.

n阶方阵A满足A2?2A?4E?O，若A?E的秩为n，证明：A?3E的秩也为n.

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班级 姓名 学号 §4 矩阵的逆

一．选择题

A111．设d?aij，Aij为aij的代数余子式, 则

A21A22...A2n.........An1...Ann=( ) .

A12...A1n...An2A.d B.?d C.dn?1 D．(?1)nd

2. 设A*为n(n?2)阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）.

A. (A*)*?|A|n?1A B. (A*)*?|A|n?1A

C．(A*)*?|A|n?2A D.(A*)*?|A|n?2A

3. 设A为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA?（ ）.

*

*A.A B.A C．An2nn2?n D.An2?n?1

4. 设A、B为n阶方阵，则有（ ）.

A. A，B可逆，则A?B可逆 B. A，B不可逆，则A?B不可逆

C．A可逆，B不可逆，则A?B不可逆 D. A可逆，B不可逆，则AB不可逆

5. A，B，C是同阶方阵，且ABC?E，则必有（ ）.

A. ACB?E； B. BAC?E； C．CAB?E; D． CBA?E.

6. 若由AB?AC必能推出B?C（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( ).

A.A?0 B.A?O C．A?O D.AB?0

?17. 设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，k为任意常数，且k?0，则必有(kA)?（ ）.

A.knA?1 B.kn?1A?1 C．kA?1 D.

1?1A k8. 设n阶矩阵A满足A2?A?2E?0，则下列矩阵哪些可能不可逆（ ），哪些一定可逆（ ）.

A. A?2E; B. A?E; C． A?E; D. A.

9. 设原方程组为AX?b，且R?A??R?A,b??r，则和原方程组同解的方程组为( ).

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班级 姓名 学号 A.ATX?b； B.QAX?b（Q为初等矩阵）；

C．PAX?Pb（P为可逆矩阵）； D.原方程组前r个方程组成的方程组.

二．填空题

1．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 . 2. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? . ?13. 设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AAT)? ，A的伴随

?

矩阵A的行列式det(A?)? .

*4. 设A为4阶矩阵，且A?2,则 2AA?____________.

??1?5. A为3阶矩阵，A?0.5，则(2A)?5A=（ ）.

三．计算与证明

1. 设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*, 试证：（1）detA??(detA)n?1； （2）(A?)??(detA)n?2A.

22. 若n阶矩阵A满足A?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?123. 若n阶矩阵A满足A?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?14. 设A,B是n阶可逆矩阵, 证明: (1) (A)T?1?(A?1)T； (2) 乘积AB可逆.

*5. 已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A也可逆,且(A)*?1?(A?1)*.

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