2010年广东省高考数学试卷（理科）答案与解析(4)

在Rt△BCF中，

．

在△BDR中，由由余弦定理得，

=

知，

，

，，

由正弦定理得，，即，．

故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．

【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，通过解∠RDB所在的三角形求得∠RDB．其解题过程为：作∠RDB→证∠RDB是二面角的平面角→计算∠RDB，简记为“作、证、算”． 19．（12分）（2010?广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．

【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐， 设费用为F，则F=2.5x+4y，

由题意知约束条件为：

画出可行域如图： 变换目标函数：

当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值． 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

20．（14分）（2010?广东）已知双曲线

的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，

y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点． （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程； （2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．

【考点】轨迹方程．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）先确定直线A1P与A2Q的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x1，y1）在双曲线上，消去参数x1、y1（整体消元）求出轨迹E的方程；

（2）先由l1⊥l2设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即△=0）得出k、h的两个方程；最后解出h的值．

【解答】解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，

，

则，，

两式相乘得，

因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以

，即，

所以，即，

．（x≠

，x≠0） ．

，

故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，将l1：y=kx+h代入

2

2

2

得

即（1+2k）x+4khx+2h﹣2=0，

222222

若l1与椭圆相切，则△=16kh﹣4（1+2k）（2h﹣2）=0，即1+2k=h； 同理若l2与椭圆相切，则

．

由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况： [1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k=h，且从而h=1+2k=3，即[2]直线l1过点解得

[3]直线l2过点

；

[4]直线l1过点

，∴

综上所述，h的值为

．

．

，而直线l2过点

，此时

，

；

，而l1与椭圆相切，此时

，1+2k=h，解得

2

2

2

2

2

2

，消去h得

2

，即k=1，

2

；

，而l2与椭圆相切，此时

，

，

【点评】本题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系及点的轨迹方程求法；同时考查方程思想、运算能力等．

21．（14分）（2010?广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|

对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）； （2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足

①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．

【考点】不等式的基本性质；点到直线的距离公式；轨迹方程．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】（1）应用绝对值不等式的性质|a|+|b|≥|a+b|

（2）假设符合条件的点存在，检验条件①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）与②ρ（A，C）=ρ（C，B）同时成立时，x，y的值是否存在．

【解答】（1）证明：由绝对值不等式知，

ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y

≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|

=|x2﹣x1|+|y2﹣y1| =ρ（A，B）

当且仅当（x﹣x1）?（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）?（y2﹣y）≥0时等号成立．

（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得

（x﹣x1）?（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）?（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）

由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）

因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2， 不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，

由（Ⅱ）得

，

此时，点C是线段AB的中点，即只有点2°若x1≠x2且y1=y2， 同理可得：只有AB的中点

3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2， 由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，

满足条件；

满足条件；

由（Ⅱ）得，

此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，

斜率为﹣1的直线

夹在矩形AA1BB1之间的部分，

其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．

【点评】本题考查绝对值不等式的性质，注意分类讨论的数学思想方法．