福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测理数试题含解析(5)

交于B点，l1

与l2交于D点，圆C是?ABD的外接圆. （1）判断?ABD的形状并求圆C面积的最小值；

（2）若D,E是抛物线x2?2py与圆C的公共点，问：在抛物线上是否存在点P使得?PDE是等腰三角

形？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2?；(2) 共有4个满足条件的P点.

（2）当PE是底时，PE中点M(即x0(x0y0,)，则DM?PE， 22x0y3?2)?y0(0?2)?0，x0?4x0?16?0， 223'2设f(x)?x?4x?16，f(x)?3x?4，

则f(x)在(??,?23232323)，(,??)递增，在(?,)递减， 3333因为f(?

23)?0，f(0)??16?0，f(3)??1?0，f(4)?32?0， 3所以f(x)在(3,4)有唯一零点，存在一个满足条件的P点.

考点：直线的方程、抛物线和圆的位置关系等有关知识及运用． 21.（本小题满分12分）

?x设函数f(x)?axlnx?be，曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为

y?(1?e?1)x?1?2e?1.

（1）求a,b；

（2）求证：f(x)??1?2e.

?2【答案】(1) a?1,b??1；(2)证明见解析. 【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件和导数的知识求解. 试题解析:

（1）依题意，f(x)定义域为(0,??)，f'(x)?a(1?lnx)?be?x，

f(1)??e?1，f'(1)?1?e?1，解得a?1,b??1.

设?(x)?xlnx?lnx?1，因为x?(e,e)， 所以?(x)?1?lnx??2?1'?2?11?1?2?e?0， x?2?2所以?(x)在(e,e)上单调递增，所以?(x0)??(e)??1?2e， 所以f(x)?f(x0)??(x0)??1?2e， 综上可知，f(x)??1?2e. 解法二：

?2?2（1）同解法一.

（2）由（1）知f(x)?xlnx?e?x，f'(x)?e?x?lnx?1，

1ex?x设g(x)?e?lnx?1，则g(x)??e??， xxxe?x'?x

考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用．

【易错点晴】导数是高中数学的重要内容之一,也是研究函数的单调性和最值问题的有效工具

之一.本题考查的是函数的零点的个数问题和不等式的证明问题.解答这类问题时常常要运用转化与化归的数学思想将其进行等价的化归和转化.如第一问中的零点问题就是要研究清楚函数在定义域中的单调性,从而确定了函数零点的个数.如第二问不等式的证明问题就是通过构造函数研究函数的最小值问题.通过构造函数将不等式的证明问题转化为求其最小值为

?1?2e?2的问题.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AD,CF分别是?ABC的中线和高线，PB,PC是?ABC外接圆O的切线，点E是

PA与圆O的

交点.

（1）求证：AC?CD?AF?PC； （2）求证：DC平分?ADE.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.