福建省泉州市四校联考2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文(5)

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得

，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐

标，从而求得t值； 【解答】解：（1）由实轴长为渐近线方程为

x，即bx﹣2

，

，得y=0，

，

∵焦点到渐近线的距离为∴

，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴双曲线方程为：；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由，

∴y1+y2=

﹣4=12，

∴，解得，∴t=4，

，t=4．

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．

22．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由． ∴

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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程．

x2+16kx+12=0，得：（4k2+1），由

继而求出

y=kx+2，（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：由

由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：∵

…∴b2=a2﹣c2=1…

…

，∵2a=4∴a=2…

所以，椭圆的方程为：

（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．

①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意 … ②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2

得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…

由

令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴设A（x1，y1），B（x2，y2），则又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴=

=

…

…

…

∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴

∴∴k=±2…

∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，

所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…

（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…

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由

得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…

令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴

…

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

…

又

∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0… ∴

∴

，

=…

∴…∴所求直线的方程为：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0

所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，

其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．

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