《数学分析》第四章 多元函数微分学(7)

【提示及点评】将原方程两边对x求偏导得：2x?2z?z?1?z； ?yf??????x?y?y?x?z将原方程两边对y求偏导得：2y?2z?z??z?1?z?z??z? ?f???yf??????yf??????2?；

?yyyy?yyy?????????z【训练题6】设?为可微函数，证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0所确定的函数z?z(x,y)?z?x?z?y满足：a?b?c。

?z?x?z?x【提示及点评】原方程两边对x求偏导得?1?(c?a?z?z偏导得?1?(a)??2?(c?b)?0。

?y?y)??2?(?b)?0;原方程两边对y求

【训练题7】证明曲面x?距之和为a.

【提示及点评】令F(x,y,z)?y?z?a?a?0?上任何一点的切平面在各坐标轴上的截

x?y?z?a.对曲面上任何一点(x0,y0,z0)处：

计算Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)得到切平面的法线方向。然后写出切平面方程。

【训练题8】设f(u)具有连续的二阶导数且z?f(ecosy)满足

x?z?x22??z?y22?e2xz，试求

f(u)的表达式。

【提示及点评】z?f(ecosy)是z?f(u)，u?ecosy的复合函数，由复合函数求导法

?z?z则可以得到2,2,f?(u),f??(u)之间的关系式，再代入原等式得到f(u)的微分方程，

?x?y22xx可求出f(u).

【训练题9】若直角三角形的一条直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。

【提示及点评】设一直角边为a，斛边为c且a?c?m为常数，则另一直角边b?从而面积S?12ab?12ac?a。

22c?a。

2221

【训练题10】求椭圆x2?3y2?12的内接等腰三角形的最大可能面积，要求其底边平等于椭圆的长轴。

【提示及点评】设等腰三角形底边与椭圆相交于两点A(x,y),B(?x,y),x?0,则面积

S?x(2?y)。再利用条件极值的求法进行计算。

【训练题11】试求函数z?(1?ey)cosx?yey的极值与极值点，并指出是极大值还是极小值。

【提示及点评】计算出

?z,?z?x?y。求出满足

?z?x?0,?z?y?0的点(x,y)?(n?,(?1)?1).再通

n过二阶偏导判定：n?2k时，上述点都是极大值，而n?2k?1时该点不是极值点。就也说明函数有无穷多极大值点而无极小值点（中国人民大学 2000年硕士生入学考试题） 【训练题12】在椭球面

x24?y?z?1内，求一表面积最大的内接长方体，并求出其表面

22积。

【提示及点评】此题是条件极值问题，先写出长方体的表面积，然后利用长方体内于椭球面，从而得到约束条件。如：设长方体长、宽、高分别为2a,2b,2c，则S?8(ab?ac?bc)。

a2约束条件为：

4?b?c?1。利用拉格朗日乘数法求解得到Smax?2(1??f?x?f?y2233)。

【训练题13】设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，且x在极坐标下与矢径r无关。

【提示及点评】要证明题目结论，实际上要证明?f?r?f?x?x?r?f?y?y?r?f?r?y?0.试证明：f(x,y)?0。令x?rcos?,y?rsin?。利用

??计算即可.

【训练题14】设f(x,y)为连续函数，且当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0及满足对任意的

c?0，f(cx,cy)?cf(x,y)。?证明存在?,??0使得：

x?y?f(x,y)??22x?y.

22【提示及点评】首先推出f(0,0)?0。取g(?)?f(cos?,sin?)在[0,2?]上的最大值?和最小值?。令x?rcos?,y?rsin而当r?0时, ?，?r?rf(cos?,sin?)??r.显然成立。

f(x,y)?f(rcos?,rsin?)?rf(cos?,sin?)。

22