《数学分析》第四章 多元函数微分学(6)

yy令fx?fy?0.得x?e,由此可见函数f(x,y)的最小值只能在曲线x?e上达到，且

yy'' f(e,y)?ye?ye?yyye?ye?y0 .因此，在D上f(x,y)?0，即证。 ■ 【例10】设?ABC的外接圆半径为一定值，且?A,?B,?C所对的边长分别为a,b,c,试证

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明

dacosA?dbcosB?dccosC?0

【证明】 如图1，设?ABC的外接圆半径为R，圆心为O，则由于 ?A??D（同弧上圆周角） 有 sinA?sinD?aBD?a2R

a?2RsinA A

同理 b?2RsinB,c?2RsinC D 因此 da?2RcosAdA

db?2RcosBdB,dc?2RcosCdC O

dacosA?dbcosB?dccosC. C

?2R?dA?dB?dC? B ?2Rd?A?B?C?

图1

?2Rd??0 ■ 【例11】设f(x,y)有一阶连续偏导数，r?x?y22，试证：若lim??xr?????f?x?y?f???1，??y?则f(x,y)有最小值.

?f?x?f?y【证明】由题设，x?a?0,当r?a时，?y 令x?rcos?,，y?rsin?, ?0。

e??cos?,sin??则有

?f?e??f?xcos???f?ysin? y M0 L ?1??f?f???x?y??0 O ? x r??x?y??

如图2，设M0是圆r?a上的点，L是过O，M0的射线， 则当M?L，且OM?OM0时，有f?M??f?M0?. 图2

222因此，当r?a，f(x,y)在x?y?a上取得最小值.又f(x,y)在有界闭区域

x?y22?a上有最小，则该最小值也是f(x,y)在全平面上的最小值. ■

2

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六、训练题提示点评

?0?【训练题1】考虑二元函数f(x,y)??xy?sin(x2?y2)?x?y?0x?y?02222，问此函数在(0,0)处是否

连续？

【提示及点评】考虑点(x,y)延y?kx趋于零时f(x,y)的极限。 ■ ?0?【训练题2】考虑二元函数f(x,y)??1xysin22?x?y?x?y?0x?y?02222在(0,0)处的可微性.

【提示及点评】先计算得fx(0,0)?fy(0,0)?0.再计算 f(0??x,0??y)?f(0,0)?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?x??y22?f(0??x,0??y)?x??y22?0

因此，f(x,y)在(0,0)处可微. ■

?u?x?v?y?u?y?v?x【训练题3】若u,v是x,y的函数，x?rcos?,y?rsin?。试由

?u?r1?vr???v?r?u?r?v???,??证

明等式：

?,??1?ur??。 ?u?y?y?r?u?x?x?r?v?y?x?r【提示及点评】 利用??u?x?x?r???;

??v?x?x????v?y?y????v?x?x???x?0x?0?u?y. ■ x????y?【训练题4】证明：二元函数f(x,y)??sinxy??x在平面上处处连续但不一致连续。

【提示及点评】连续性主要考虑x?0时。取?0?limn??12及特殊点列?xn,yn?,?un,vn?使得

?xn,yn???un,vn??0及f?xn,yn??f?un,vn??1??0. ■

222【训练题5】函数z?z(x,y)由方程x?y?z?yf??z?x?z??给出，其中f可微，求证： y?? ?x?y?z222??2xy?z?y?2xz。

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